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第二章 导数与微分

知识点

导数

  • 导数的概念

    • 导数的定义

      注意
      错误

      \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=2A\Rightarrow f'(x_0)=A\in\mathbb R\) 不成立！

      因为：

      1. \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处不一定可导。如 \(f(x)=|x|\)，\(f_-'(0)=-1\)，\(f_+'(0)=1\)，故 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处不可导，但 \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{|h|-|-h|}{h}=0\)。

      2. \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处不一定连续。如 \(f(x)=\begin{cases}x^2&(x\neq 0)\\1&(x=0)\end{cases}\) 在 \(x=0\) 处不连续。

      正确

      \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}h\)【若 \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\) 和 \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\) 存在】\(=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h+\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}=f_+'(x_0)+f_-'(x_0)=2f'(x_0)\)

      同理，\(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0-\beta h)}h\)【若 \(\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0)}{\alpha h}\) 和 \(\dfrac{f(x_0-\beta h)-f(x_0)}{-\beta h}\) 存在】\(=\lim\limits_{h\to 0}(\dfrac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0)}{\alpha h}\times \alpha+\dfrac{f(x_0-\beta h)-f(x_0)}{-\beta h}\times \beta)=\alpha f_-(x_0)+\beta f_+(x_0)=(\alpha+\beta)f'(x_0)\)

      注意

      \(\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(x+\frac 1 n)-f(x)}{\frac 1 n}\) 存在，不能推出 \(f'(x)\) 存在。

      如对于狄利克雷函数，由于 \([x\in \mathbb Q]=[x+\dfrac 1 n\in\mathbb Q]\)，故 \(D(x+\dfrac 1 n)-D(x)=0\)，\(\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{D(x+\frac 1 n)-D(x)}{\frac 1 n}=0\)。但 \(D(x)\) 不连续，因此不可导。

      几何意义

      注意

      可导一定有切线：\(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\) 存在，则切线斜率存在，切线存在。

      有切线不一定可导：当切线斜率不存在（直线竖直）或者左右切线不一样时，不可导。

    • 单侧导数

      左导数 \(f_-'(x_0)\)，右导数 \(f_+'(x_0)\)

      \(f'(x_0)\) 存在 \(\Leftrightarrow\) \(f_-'(x_0)\) 与 \(f_+'(x_0)\) 存在且相等

      曲线 \(y=f(x)\) 光滑 \(\Leftrightarrow\) \(f'(x)\) 连续

      注意

      \(f'(x_0)\) 与 \(\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)\) 不一定相等。【因为 \(g(x_0)\) 是否存在与 \(\lim\limits_{x\to x_0}g(x_0)\) 是否存在无关。前者反映 \(g(x)\) 在 \(x=x_0\) 处的信息，后者反映 \(g(x)\) 在 \(\mathring U(x_0)\) 处的信息】

      \(f_+'(x_0)\) 与 \(f'(x_0+0)\) 不一定相等，\(f_-'(x_0)\) 与 \(f'(x_0-0)\) 不一定相等。其中 \(f'(x_0+0)\) 与 \(f'(x_0-0)\) 表示 \(f'(x)\) 在 \(x_0\) 处的右极限与左极限。

      如 \(f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac 1 x&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{cases}\)，\(f'(x)=\begin{cases}2x\sin\frac 1 x-\cos\frac 1 x&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{cases}\)。\(f'(0)=0\)，\(\lim\limits_{x\to 0}f'(x)\) 不存在。

      事实上，我们有导数极限存在定理：设 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续，在 \(\mathring U(x_0)\) 内可导，且极限 \(\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)\) 存在，则 \(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)\)。

    • 函数可导与连续的关系：若 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处可导，则 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处必连续。即，\(f'(x_0)\) 存在 \(\Rightarrow\) \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)。

      证明

      \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导 \(\Rightarrow\) \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)\) 存在 \(\Rightarrow\) \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Delta x=\lim\limits_{\Delta x\to 0}f'(x_0)\cdot 0=0\)。

      （其实就是，分式极限存在，且分母极限为 \(0\)，可推出分子极限为 \(0\)）

      但 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处连续，则 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处不一定可导。如 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 处连续但不可导。

      Info

      若 \(f'(x)\) 存在：

      阶 \(k\) 对象 \(f^{(k)}\) 单点 \(x_0\) — 存在 单点 \(x_0\) — 可导 单点 \(x_0\) — 连续 去心邻域 \(\mathring U(x_0)\) — 存在 去心邻域 — 可导 去心邻域 — 连续
      \(k=0\) \(f\) ✅ ✅ ✅ ✅ ❓ ❓
      \(k=1\) \(f'\) ✅ ❓ ❓ ❓ ❓ ❓
      \(k\ge2\) \(f^{(k)}\) ❓ ❓ ❓ ❓ ❓ ❓

      若 \(f''(x_0)\) 存在：

      阶 \(k\) 对象 \(f^{(k)}\) 单点 \(x_0\) — 存在 单点 \(x_0\) — 可导 单点 \(x_0\) — 连续 去心邻域 \(\mathring U(x_0)\) — 存在 去心邻域 — 可导 去心邻域 — 连续
      \(k=0\) \(f\) ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅
      \(k=1\) \(f'\) ✅ ✅ ✅ ✅ ❓ ❓
      \(k=2\) \(f''\) ✅ ❓ ❓ ❓ ❓ ❓
      \(k\ge3\) \(f^{(k)}\) ❓ ❓ ❓ ❓ ❓ ❓

      若 \(f^{(n)}\) 存在：

      阶 \(k\) 对象 \(f^{(k)}\) 单点 \(x_0\) — 存在 单点 \(x_0\) — 可导 单点 \(x_0\) — 连续 去心邻域 \(\mathring U(x_0)\) — 存在 去心邻域 — 可导 去心邻域 — 连续
      \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\) \(\cdots\)
      \(k=n-2\) \(f^{(n-2)}\) ✅ ✅ ✅ ✅ ✅ ✅
      \(k=n-1\) \(f^{(n-1)}\) ✅ ✅ ✅ ✅ ❓ ❓
      \(k=n\) \(f^{(n)}\) ✅ ❓ ❓ ❓ ❓ ❓
      \(k\ge n+1\) \(f^{(k)}\) ❓ ❓ ❓ ❓ ❓ ❓
      1. 单点 \(x_0\) 的结论
        • 若 \(f^{(n)}(x_0)\) 存在，则 \(\forall k\le n\)，\(f^{(k)}(x_0)\) 都 存在；
        • \(\forall k\le n-1\)，\(f^{(k)}\) 在 \(x_0\) 可导（因其导数 \(f^{(k+1)}(x_0)\) 存在），因此 连续；
        • \(f^{(n)}\) 在 \(x_0\) 仅“存在”，但 不一定连续或可导。

      2. 去心邻域 \(\mathring U(x_0)\) 的结论

        • \(\forall k\le n-1\)，\(f^{(k)}\) 在去心邻域 存在；
        • \(\forall k\le n-2\)，\(f^{(k)}\) 在去心邻域 可导（因此连续）；
        • \(f^{(n-1)}\) 在去心邻域 存在，但其连续/可导性 无法确定。

      3. 高阶 \(k\ge n\)：

        • 无法确定在 \(x_0\) 或去心邻域上的存在、连续或可导性。

      推广：若 \(f_-'(x_0)\) 和 \(f_+'(x_0)\) 都存在（不要求相等），就有 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处连续。

      证明

      \(f_-'(x_0)\) 存在，即 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 存在，且 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\Delta x=0\)，所以 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\Delta y=0\)，因此 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处左连续。

      同理 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\Delta y=0\)，因此 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处右连续。

      所以 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。

      例题

      设 \(f(x)=\begin{cases}|x|^{\alpha}\sin\frac 1 x&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{cases}\)，则 \(\alpha\) 取何值时，\(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续？可导？导函数连续？

      解答

      • 连续：\(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0)=0\)

        即 \(\lim\limits_{x\to 0}|x|^{\alpha}\sin\frac 1 x=0\)。又 \(|\sin\frac 1 x|\leq 1\)，易得 \(\alpha>0\)。

      • 可导：\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|^{\alpha}\sin\frac 1 x-0}{x-0}\) 存在；\(f_+'(0)=f_-'(0)\)。

        \(f_+'(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x^{\alpha}\sin\frac 1 x}x=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-1}\sin\frac 1 x\)

        \(f_-'(0)=\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{(-x)^{\alpha}\sin\frac 1 x}x=\lim\limits_{x\to 0^-}-(-x)^{\alpha-1}\sin\frac 1 x\)

        易得 \(\alpha>1\)。

      • 导函数连续：\(f'(0)\) 存在且 \(\lim\limits_{x\to 0}f'(x)=f'(0)=0\)

        当 \(\alpha>1\) 时，\(f'(x)=\begin{cases}\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac 1 x-x^{\alpha-2}\cos\frac 1 x&(x>0)\\0&(x=0)\\-\alpha(-x)^{\alpha-1}\sin\frac 1 x-(-x)^{\alpha-2}\cos\frac 1 x&(x<0)\end{cases}\)

        \(\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0}(\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac 1 x-x^{\alpha-2}\cos\frac 1 x)=-\lim\limits_{x\to 0}x^{\alpha-2}\cos \frac 1 x=0\)，易得 \(\alpha>2\)。

        同理 \(\alpha>2\) 时 \(\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=0\)。

        则 \(\alpha>2\)。

        注意

        \((-x)^{\alpha}=(-1)^{\alpha}x^{\alpha}\) 是错误的，\(x<0\) 时 \(x^{\alpha}\) 可能没意义。

  • 导数的基本公式与运算法则

    • 几个基本初等函数的导数

      \((C')=0\)

      \((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\,(x>0)\)。特别地，\((\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}\)，\((\frac 1 x)'=-\frac{1}{x^2}\)

      证明

      考虑 \(\alpha\neq 0\)。

      1. \(\forall x\in D\) 且 \(\neq 0\)

        \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{(x+\Delta x)^{\alpha}-x^{\alpha}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}x^{\alpha}\dfrac{(1+\frac{\Delta x}x)^{\alpha}-1}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}x^{\alpha}\cdot \dfrac{\alpha\cdot \frac{\Delta x}x}{\Delta x}=\alpha x^{\alpha-1}\)

      2. 若有 \(x=0\in D\)，必有 \(\alpha>0\)，此时 \(f(0)=0\)。

        \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}x=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^{\alpha}}x=\begin{cases}0&(\alpha>1)\\1&(\alpha=1)\\\infty&(0<\alpha<1)\end{cases}\)

        所以，当 \(\alpha\geq 1\) 时，\(f(x)=x^{\alpha}\)在点 \(x=0\) 处可导且 \(f'(0)=\begin{cases}0&(\alpha>1)\\1&(\alpha=1)\end{cases}\) 仍然适合公式 \((x^{\alpha})=\alpha x^{\alpha-1}\)；当 \(0<\alpha<1\) 时，\(f(x)=x^{\alpha}\) 在点 \(x=0\) 处不可导。

      \((e^x)'=e^x\)，\((a^x)'=a^x\ln a\,(a>0,a\neq 1)\)

      证明

      \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x\ln a\)

      \((\ln |x|)'=\frac 1 x\)，\((\log_a |x|)'=\frac{1}{x\ln a}\,(a>0,a\neq 1)\)

      证明

      \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\log_a(1+\frac{\Delta x}x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\ln(1+\frac{\Delta x}x)}{\Delta x\ln a}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\frac{\Delta x}x}{\Delta x\ln a}=\dfrac{1}{x\ln a}\)

      \((\sin x)'=\cos x\)，\((\cos x)'=-\sin x\)，\((\tan x)'=\sec^2 x\)

      证明

      \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{2\cos\frac{2x+\Delta x}{2}\sin\frac{\Delta x}{x}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{2\cdot \frac{\Delta x}{2}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}}{\Delta x}=\cos x\)

      \((\cot x)'=-\csc^2 x\)

      \((\sec x)'=\sec x\tan x\)

      \((\csc x)'=-\csc x\cot x\)

      \((\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，\((\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

      \((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)，\((\text{arccot } x)'=-\frac{1}{1+x^2}\)

      \((\sinh x)'=\cosh x\)，\((\cosh x)'=\sinh x\)，\((\tanh x)'=\frac{1}{\cosh^2 x}\)

      \((\text{arsinh } x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)，\((\text{arcosh }x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)，\((\text{artanh }x)'=\frac{1}{1-x^2}\)

      Tip

      \((\ln|u(x)|)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)

      \((\ln |\cos x|)'=-\tan x\)，\((\ln |\sin x|)'=\cot x\)，\((\ln |\sec x+\tan x|)'=\sec x\)，\((\ln |\csc x-\cot x|)'=\csc x\)

      \((\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\)，\((\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\,(x>|a|)\)（常见 \(a=1\)）

    • 导数的四则运算：设 \(u=u(x),v=v(x)\) 在点 \(x\) 处可导，则 \(u\pm v\)，\(u\cdot v\)，\(\frac u v\,(v\neq 0)\) 都在点 \(x\) 处可导，且 \((u\pm v)'=u'\pm v'\)，\((uv)'=u'v+uv'\)，\((\frac u v)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\,(v\neq 0)\)。

      证明

      由 \(\Delta u=u(x+\Delta x)-u(x)\) 知 \(u(x+\Delta x)=u+\Delta u\)；由 \(\Delta v=v(x+\Delta x)-v(x)\)知 \(v(x+\Delta x)=v+\Delta v\)。

      • 证明 \((u\pm v)'=u'\pm v'\)：

        设 \(y=u(x)\pm v(x)\)，则 \((u+v)'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta u\pm\Delta v}{\Delta x}=u'\pm v'\)。

      • 证明 \((uv)'=u'v+uv'\)：

        设 \(y=u(x)v(x)\)，则 \((uv)'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-uv}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv}{\Delta x}=\dfrac{v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(v\cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x}+u\cdot \dfrac{\Delta v}{\Delta x}+\Delta u\cdot \dfrac{\Delta v}{\Delta x})=u'v+uv'\)。

      • 证明 \((\dfrac u v)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)：

        设 \(y=\dfrac{u(x)}{v(x)}\,(v(x)\neq 0)\)，则：\((\dfrac u v)'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac u v}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac u v}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\frac{v\Delta u-u\Delta v}{v(v+\Delta v)}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{v\frac{\Delta u}{\Delta x}-u\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(v+\Delta v)}=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\,(v\neq 0)\)。

      若 \(u_i=u_i(x)\,(i=1,2,\cdots,n)\) 均可导，则 \((u_1+u_2+\cdots+u_n)'=u_1'+u_2'+\cdots+u_n'\)，\((u_1u_2\cdots u_n)'=\sum_{k=1}^n u_1\cdots u_k'\cdots u_n\)。

      例题

      设 \(f(x)=(e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-2025)\)，计算 \(f'(0)\)。

      解答

      • 法 1：\(f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-2025)}x=\lim\limits_{x\to 0}(e^x-2)\cdots(e^x-2025)=2024!\)

      • 法 2：记 \(g(x)=(e^x-2)(e^x-3)\cdots(e^x-2025)\)，则 \(f(x)=(e^x-1)g(x)\)。\(f'(x)=e^xg(x)+(e^x-1)g'(x)\)，则 \(f'(0)=g(0)=2024!\)。

    • 反函数的求导法则

      设 \(y=f(x)\) 可导，且 \(f'(x)\neq 0\)（即 \(f(x)\) 严格单调），则存在反函数 \(x=\varphi(y)\)，且 \(\large\frac{\text dx}{\text dy}=\frac{1}{\frac{\text dy}{\text dx}}\)，即 \(\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}\)。

      证明

      1. 由于 \(y=f(x)\) 可导，从而连续，则其反函数 \(x=\varphi(y)\) 也连续。

        所以，当 \(\Delta x\to 0\) 时，\(\Delta y\to 0\)；同理，当 \(\Delta y\to 0\) 时，\(\Delta x\to 0\)。

      2. 由于 \(f(x)\) 严格单调，则其反函数 \(\varphi(y)\) 也严格单调。

        所以，当 \(\Delta x\neq 0\) 时，\(\Delta y\neq 0\)；同理，当 \(\Delta y\neq 0\) 时，\(\Delta x\neq 0\)。

      故 \(\varphi'(y)=\lim\limits_{\Delta y\to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta y}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\dfrac{1}{f'(x)}\)。

      Info

      \(f'(x)\) 存在且 \(f'(x)\neq 0\) \(\Rightarrow\) \(f'(x)\) 必恒正或恒负（\(f(x)\) 单调）

      例题

      计算 \(y'=\arcsin x,-1<x<1\) 的导数。

      解答

      \(x=\sin y,y\in(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)\)

      \((\arcsin x)_x'=\dfrac{1}{(\sin y)_y'}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

      计算 \(y=\arctan x\) 的导数。

      解答

      \(x=\tan y,y\in(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)\)

      \((\arctan x)_x'=\dfrac{1}{(\tan y)_y'}=\dfrac{1}{\sec^2 y}=\dfrac{1}{1+\tan^2 y}=\dfrac{1}{1+x^2}\)

      类似地，可以求得 \((\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，\((\text{arccot }x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}\)。

      高阶导数

      \(y=f(x)\Rightarrow x=\varphi(y)\)。记 \(f'(x)=y_x'\)，\(\varphi'(y)=x_y'\)

      \(y_x'=\dfrac{1}{x_y'}\)

      \(y_{xx}''=\dfrac{\text d(\frac{1}{x_y'})}{\text dx}=\dfrac{\text d(\frac{1}{x_y'})}{\text dy}\cdot \dfrac{\text dy}{\text dx}=-\dfrac{1}{(x'_y)^2}\textcolor{green}{x_{yy}''}\cdot \dfrac{1}{x'_y}=-\dfrac{x_{yy}''}{(x_y')^3}\)

      \(y_{xxx}'''=\dfrac{\text d(-\frac{x''_{yy}}{(x'_y)^3})}{\text dx}=\dfrac{\text d(-\frac{x''_{yy}}{(x'_y)^3})}{\text dy}\cdot \dfrac{\text dy}{\text dx}=-\dfrac{x_{yyy}'''(x'_y)^3-x''_{yy}\cdot 3(x'_y)^2\textcolor{green}{x''_{yy}}}{(x'_y)^6}\cdot \dfrac{1}{x'_y}=\dfrac{3(x''_{yy})^2-x'''_{yyy}x'_y}{(x'_y)^5}\)

      反过来 \(x_y'=\dfrac{1}{y_x'}\)，\(x_{yy}''=-\dfrac{y_{xx}''}{(y_x')^3}\)，\(x_{yyy}'''=\dfrac{3(y''_{xx})^2-y'''_{xxx}y'_x}{(y'_x)^5}\)

    • 复合函数求导法则

      设 \(u=g(x)\) 对 \(x\) 可导，\(y=f(u)\) 对 \(u\) 可导，则 \(y=f(g(x))\) 可导，且 \(\frac{\text dy}{\text dx}=\frac{\text dy}{\text du}\cdot \frac{\text du}{\text dx}\) 或 \((f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)\)。

      证明
      错误证法

      \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \dfrac{\Delta u}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta u\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta u}{\Delta x}=f'(u)g'(x)\)。

      错误原因：\(\Delta u\) 可能为 \(0\)。

      正确证法

      \(\Delta y=f'(u_0)\Delta u+\alpha(\Delta u)\Delta u\)。其中 \(\alpha(\Delta u)\) 为 \(\Delta u\to 0\) 时的无穷小量。

      \(\alpha(\Delta u)=\begin{cases}\dfrac{f(u_0+\Delta u)-f(u_0)}{\Delta u}-f'(u_0)&(\Delta u\neq 0)\\0&(\Delta u=0)\end{cases}\)

      则 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f'(u_0)\Delta u+\alpha(\Delta u)\Delta u}{\Delta x}=f'(u_0)g'(x_0)+0\cdot g'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0)\)。

      注意

      \((f(g(x)))'=\dfrac{\text d(f(g(x)))}{\text dx}\)，而 \(f'(g(x))=\dfrac{\text d(f(g(x)))}{\text d(g(x))}\)。前者是对 \(x\) 求导，后者是对 \(g(x)\) 求导。要看清楚求导符号的位置。

      注意可能 \(\Delta u=0\)

    • 分段函数求导：在分段点用导数定义求导，在非分段点用导数公式求导。

  • 隐函数的导数

    • 隐函数的求导法则

      设函数 \(y=y(x)\) 是由方程 \(F(x,y)=0\) 确定的可导函数，则：1. 方程 \(F(x,y)=0\) 两边对 \(x\) 求导，注意 \(y=y(x)\)，即将 \(y\) 看作中间变量，得到一个关于 \(y'\) 的方程。2. 解该方程可求出 \(y'\)。

      例题

      设 \(y=y(x)\) 是由方程 \(\sin (xy)=\ln\dfrac{x+e}{y}+1\) 确定的隐函数，求 \(y'(0)\) 的值。

      解答

      方程两边对 \(x\) 求导（\(y=y(x)\)），\(\cos (xy)\cdot (y+xy')=\dfrac{y}{x+e}\cdot \dfrac{y-(x+e)y'}{y^2}\)

      又当 \(x=0\) 时，\(0=\ln\dfrac{e}{y(0)}+1\Rightarrow y(0)=e^2\)

      \(x=0,y(0)=e^2\) 代入，\(1\cdot (e^2)=\dfrac{1}{e}\cdot\dfrac{e^2-e\cdot y'(0)}{e^2}\Rightarrow y(0)=e-e^4\)

      设 \(y=y(x)\) 是 \(x^3+y^3-3x+3y-2=0\) 确定的隐函数。求 \(\dfrac{\text dy}{\text dx}\) 和 \(\dfrac{\text d^2y}{\text dx^2}\bigg |_{x=1}\)。

      计算

      两边同时对 \(x\) 求导：\(3x^3+3y^2\textcolor{blue}{y'}-3+3y'=0\)，即 \(x^2+y^2y'-1+y'=0\Rightarrow y'=\dfrac{1-x^2}{1+y^2}\)。

      再求对 \(x\) 求一次导。\(2x+2y\textcolor{blue}y'\cdot y'+y^2y''+y''=0\Rightarrow y''=-\dfrac{2x+2y(y')^2}{1+y^2}\)。

      代入 \(x=1,y=1\) 得 \(y'(1)=0,y''(1)=-1\)。

      设 \(y=f(x)\) 由方程 \(\sin(xy)+\ln y-x=1\) 确定，求 \(\lim\limits_{n\to \infty}n[f(\dfrac 2 n)-e]\)。

      解答
      Abstract

      【借助导数定义】

      \(f(\dfrac 2 n)=f(0+\dfrac 2 n)\)

      而将 \(x=0\) 代入方程，可得 \(y|_{x=0}=f(0)=e\)

      方程两边同时对 \(x\) 求导，\(\cos (xy)\cdot (y+xy')+\dfrac 1 y\cdot y'-1=0\)。

      代入 \(x=0,y|_{x=0}=e\) 可得 \(y'|_{x=0}=f'(0)=e(1-e)\)。

      \(\lim\limits_{n\to \infty}n[f(\dfrac 2 n)-e]=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(0+\frac 2 n)-f(0)}{\frac 2 n\cdot \frac 1 2}=2f'(0)=2e(1-e)\)

    • 对数求导法

      对于 \(y=f(x)\,(y\neq 0)\)：

      1. 两边加绝对值取对数，\(\ln |y|=\ln |f(x)|\)

      2. 两边对 \(x\) 求导（注意 \(y=f(x)\)，即将 \(y\) 看作中间变量），\(\frac 1 y y'=[\ln |f(x)|]'\Rightarrow y'=\frac{yf'(x)}{f(x)}\)

      例题

      设 \(y=\dfrac{\sqrt[5]{x-3}\sqrt[3]{3x-2}}{\sqrt{x+2}}\)，求 \(y'\)。

      解答

      \(\ln |y|=\frac 1 5\ln|x-5|+\frac 1 3\ln|3x-2|-\frac 1 2\ln|x+2|\)

      两边同时对 \(x\) 求导：

      \(\dfrac 1 y y'=\dfrac 1 5\cdot\dfrac 1 {x-3}+\dfrac 1 3\cdot\dfrac{1}{3x-2}\cdot 3-\dfrac 1 2\cdot\dfrac{1}{x+2}\)

      得 \(y'=\dfrac{\sqrt[5]{x-3}\sqrt[3]{3x-2}}{\sqrt{x+2}}[\dfrac{1}{5(x-3)}+\dfrac{1}{3x-2}-\dfrac{1}{2(x+2)}]\)

  • 高阶导数

    • 高阶导数的定义

      注意

      \(\text d(x^n)=nx^{n-1}\text dx\) 叫幂的微分，\(\text dx^n=(\text dx)^n\) 叫微分的幂。

    • 部分基本初等函数的高阶导数

      \({(a^x)}^{(n)}=a^x\ln^n a\,(a>0,a\neq 1)\)，\({(e^x)^{(n)}}=e^x\)

      \({(\sin kx)}^{(n)}=k^n\sin(kx+\frac{n\pi}2)\)

      \({(\cos kx)}^{(n)}=k^n\cos(kx+\frac{n\pi} 2)\)

      \({(\ln x)}^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\,(x>0)\)

      \({[\ln(1+x)]}^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}\,(x>-1)\)

      \({[(x+x_0)^m]}^{(n)}=m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)(x+x_0)^{m-n}\)

      注意 \([f(ax+b)]^{(n)}=a^nf^{(n)}(ax+b)\)（复合函数求导），如 \([\ln(1-x)]^{(n)}=-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}\)。

    • 高阶导数的运算法则

      \((u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}\)

      莱布尼兹（Leibniz）公式：\({(uv)}^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)}\)，其中 \(u^{(0)}=u\)，\(v^{(0)}=v\)。

    • 求高阶导数：

      1. 化基本初等函数

        例题

        \(y=\sin^4 x+\cos^4 x\)，求 \(y^{(n)}\)。

        解答

        \(y=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-\dfrac 1 2\sin^2 2x=1-\dfrac 1 4(1-\cos 4x)=\dfrac 3 4+\dfrac 1 4\cos 4x\)

        \(y^{(n)}=\dfrac 1 4\cos(4x+\dfrac{n\pi}2)\cdot 4^n=4^{n-1}\cos(4x+\dfrac{n\pi}2)\)

        \(y=\dfrac{1}{x^2-3x+2}\)，求 \(y^{(n)}\)。

        解答

        \(y=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}\)

        \(y^{(n)}=\dfrac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}}-\dfrac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}\)

        \(y=\dfrac{1}{1-x^2}\)，求 \(y^{(n)}\)。

        解答

        \(y=\dfrac{1}{2}(\dfrac 1{1+x}+\dfrac 1 {1-x})=\dfrac 1 2(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1})\)【\(x\) 系数为正，方便求导】

        \(y^{(n)}=\dfrac 1 2 [\dfrac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}}-\dfrac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}]\)

      2. 归纳法

        例题

        设 \(f(x)=e^x\cos x\)，求 \(f^{(2024)}(x)\)。

        解答

        • 法 1：

          \(f'(x)=e^x(\cos x-\sin x)=\sqrt 2 e^x\cos(x+\dfrac{\pi}4)\)【把 \(f'(x)\) 改成与 \(f(x)\) 结构类似的】

          假设 \(f^{(n)}(x)=(\sqrt 2)^n e^x\cos(x+\dfrac{n\pi}4)\)，则 \(f^{(n+1)}(x)=(\sqrt 2)^ne^x\cdot [\cos(x+\dfrac{n\pi}4)-\sin(x+\dfrac{n\pi}4)]=(\sqrt 2)^{n+1}e^x\cos(x+\dfrac{(n+1)\pi}4)\)。【注意 \((\sqrt 2)^n\) 是常数】

          由归纳法知，\(f^{(2024)}(x)=2^{1012}e^x\cos x\)。

        • 法 2：（利用欧拉公式）

          思路

          用欧拉公式构造复值函数：由欧拉公式，\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)，那么 \(f(x)=e^x\cos x\) 就是 \(g(x)=e^x\cdot e^{ix}\) 的实部。

          复值函数的导数性质：若复值函数 \(g(x)=u(x)+iv(x)\)（\(u,v\) 为实函数），则 \(g^{(n)}(x)=u^{(n)}(x)+iv^{(n)}(x)\)。因此，实部的 \(n\) 阶导数等于复值函数 \(n\) 阶导数的实部。

          所以，\(f^{(n)}(x)=\text{Re}[g^{(n)}(x)]\)。

          \(g^{(n)}(x)=(1+i)^ne^{(1+i)x}\)【因为 \((e^{kx})^{(n)}=k^ne^{kx}\)】\(=(\sqrt 2)^n(\cos\dfrac{n\pi}4+i\sin\dfrac{n\pi}4)\cdot e^x(\cos x+i\sin x)=(\sqrt 2)^ne^x[\cos (x+\dfrac{n\pi}4)+i\sin(x+\dfrac{n\pi}4))]\)。

          故 \(f^{(n)}(x)=(\sqrt 2)^n e^x\cos(x+\dfrac{n\pi}4)\)。所以 \(f^{(2024)}(x)=2^{1012}e^x\cos x\)。

          Tip

          计算过程中：

          1. 复数的乘法可以用模长相乘、辐角相加处理。例如，复数 \(1+i\) 模长为 \(\sqrt 2\)、辐角为 \(\dfrac{\pi}4\)。所以 \((1+i)^n\) 模长为 \((\sqrt 2)^n\)、辐角为 \(\dfrac{n\pi}4\)。故 \((1+i)^n=(\sqrt 2)^n(\cos\dfrac{n\pi}4+i\sin\dfrac{n\pi}4)\)。

          2. 复指数用欧拉公式转成三角形式的复数。

            \(e^{(a+ib)x}=e^{ax}\cdot e^{ibx}=e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)\)。

      3. 用莱布尼兹公式

        例题

        设 \(f(x)=x^2e^{-2x}\)，求 \(f^{(2024)}(0)\)。

        解答

        根据莱布尼兹公式，\(f^{(n)}(x)=C_{n}^0 x^2(e^{-2x})^{(n)}+C_{n}^1(x^2)'(e^{-2x})^{n-1}+C_{n}^2(x^2)''(e^{-2x})^{(n-2)}\)\(=x^2\cdot (-2)^{n}e^{-2x}+n\cdot 2x\cdot (-2)^{n-1}e^{-2x}+\dfrac{n\cdot (n-1)}2\cdot 2\cdot (-2)^{n-2}e^{-2x}\)，因此 \(f^{(2024)}(0)=2024\cdot 2023\cdot 2^{2022}\)。

      4. 递推（构造常微分方程）

        例题

        设 \(f(x)=\arctan x\)，求 \(f^{(n)}(0)\)。

        解答

        \(f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\)，则 \((1+x^2)f'(x)=1\)。

        两边同时求 \((n-1)\) 阶导数，由莱布尼兹公式（因为 \((1+x^2)\) 的从三阶导开始就变成 \(0\) 了，所以展开时只有前几项非零）可得 \((1+x^2)f^{(n)}(x)+2(n-1)xf^{(n-1)}(x)+(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(x)=0\)。

        令 \(x=0\) 有 \(f^{(n)}(0)+(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(0)=0\)。得到递推式 \(f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(0)\)。

        又 \(f(0)=0\)，\(f'(0)=1\)，所以 \(f^{(n)}(0)=\begin{cases}0&(n\text{ is even})\\(-1)^{\frac{n-1}2}(n-1)!&(n\text{ is old})\end{cases}\)。

        设 \(f(x)=\arcsin x\)，求 \(f^{(n)}(0)\)。

        解答

        记 \(y=f(x)\)。

        \(y'=\dfrac{1}{\sqrt {1-x^2}}\Rightarrow y'\sqrt{1-x^2}=1\)【直接用莱布尼兹公式无法求解，展开后非 \(0\) 项过多】

        再求导，\(y''=-\dfrac 1 2(1-x^2)^{-\frac 3 2}\cdot (-2x)=\dfrac{x}{1-x^2}\cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=\dfrac{x}{1-x^2}\cdot \textcolor{blue}{y'}\)，因此 \((1-x^2)y''=xy'\)。

        两边同时对 \(x\) 求 \(n-2\) 阶导数：\((1-x^2)y^{(n)}+C_{n-2}^1 (-2x)y^{n-1}-2C_{n-2}^2 y^{n-2}=xy^{(n-1)}+C_{n-2}^1 y^{n-2}\)，得到递推式 \(y^{(n)}(0)=(n-2)^2 y^{(n-2)}(0)\)。

        又 \(y(0)=0\)，\(y'(0)=1\)，则 \(y^{(2n)}(0)=0\)，\(y^{(2n+1)}(0)=[(2n-1)!!]^2\)。

        设 \(f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})\)，求 \(f^{(n)}(0)\)。

        解答

        记 \(y=f(x)\)。

        \(y'=\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}(1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

        \(y''=-\dfrac 1 2 (1+x^2)^{-\frac 3 2}\cdot 2x=-\dfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=-\dfrac{x}{1+x^2}y'\)，因此 \((1+x^2)y''=-xy'\)。

        两边同时求 \(n-2\) 阶导数，\((1+x^2)y^{(n)}+C_{n-2}^1 (2x)y^{(n-1)}+2C_{n-2}^2y^{(n-2)}=-xy^{(n-1)}-C_{n-2}^1 y^{(n-2)}\)，得到递推式 \(y^{(n)}(0)=-(n-2)^2y^{(n-2)}(0)\)。

        又 \(y(0)=0\)，\(y'(0)=1\)，则 \(y^{(2n)}(0)=0\)，\(y^{(2n+1)}(0)=(-1)^n[(2n-1)!!]^2\)。

      5. 泰勒展开

        例题

        设 \(f(x)=x^5 e^{6x}\)，求 \(f^{(101)}(0)\)。

        解答

        \(x^5e^{6x}=x^5(1+6x+\dfrac{(6x)^2}{2!}+\cdots+\dfrac{(6x)^{96}}{96!}+\cdots)=x^5+\cdots+\dfrac{6^{96}}{96!}x^{101}+\cdots\)

        \(y=y(0)+y'(0)x+\dfrac{y''(0)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{y^{(101)}(0)}{101!}x^{101}+\cdots\)

        \(\Rightarrow \dfrac{6^{96}}{96!}=\dfrac{y^{(101)}(0)}{101!}\)

        \(\Rightarrow y^{(101)}(0)=\dfrac{6^{96}}{96!}\cdot 101!\)

  • 导数在实际中的应用

微分

  • 微分的概念

    • 微分的定义

      设 \(y=f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 内有定义，当 \(\Delta x\to 0\) 时，对于函数增量 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)，若存在与 \(\Delta x\) 无关的常数 \(A\)，使得 \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\)，则称 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可微，并称 \(A\Delta x\)（线性主部）为 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的微分，记作 \(\text dy\vert_{x=x_0}=A\Delta x\)。

      又由于 \(\Delta x=1\cdot \Delta x+0\)，所以 \(\Delta x=\text dx\)。

    • 可微与可导的关系

      函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微 \(\Leftrightarrow\) \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导。此时 \(A=f'(x_0)\)，即 \(\text dy\vert_{x=x_0}=f'(x_0)\text dx\)

      证明

      \(\Rightarrow\)：由于 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微，则 \(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\,(\Delta x\to 0)\)，故 \(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(A+\dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x})=A\)，所以 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导。

      \(\Leftarrow\)：由于 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，则 \(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\Rightarrow\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+o(\Delta x)\)，所以 \(\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)\)，从而 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微。

    • 微分的几何意义

  • 微分的基本性质

    • 微分基本公式

    • 微分的四则运算

      设 \(u=u(x),v=v(x)\) 在点 \(x\) 处均可微，则 \(u\pm v\)，\(uv\)，\(cu\)，\(\frac u v\,(v\neq 0)\) 在点 \(x\) 处都可微，且 \(\text d(u\pm v)=\text du\pm \text dv\)，\(\text d(uv)=v\text du+u\text dv\)，\(\text d(cu)=c\text du\)，\(\text d(\frac u v)'=\frac{v\text du-u\text dv}{v^2}\,(v\neq 0)\)。

      例题（隐函数法 2）

      设 \(y=y(x)\) 由方程 \(x^y=y^x\,(x>0,y>0)\) 确定，求 \(\dfrac{\text dy}{\text dx}\)。

      解答

      两边取对数，\(y\ln x=x\ln y\)。

      两边取微分，\(\text dy\cdot \ln x+y\cdot \dfrac 1 x\text dx=\text dx\cdot \ln y+x\cdot \dfrac 1 y\text dy\)

      则 \(\text dy=\dfrac{(\ln y-\frac y x)\text dx}{\ln x-\frac x y}\)，\(\dfrac{\text dy}{\text dx}=\dfrac{xy\ln y-y^2}{xy\ln x-x^2}\)。

      设 \(y=y(x)\) 是由方程 \(xy+\ln y=1\) 确定的，求 \(\dfrac{\text dy}{\text dx}\)。

      解答

      两边取微分，\(\text dx\cdot y+x\cdot \text dy+\dfrac 1 y\text dy=0\)

      则 \(\dfrac{\text dy}{\text dx}=\dfrac{-y}{x+\frac 1 y}=-\dfrac{y^2}{xy+1}\)。

    • 一阶微分形式不变性

      若 \(u=\varphi(x)\) 在点 \(x\) 处可微，\(y=f(u)\) 在点 \(u\,(u=\varphi(x))\) 处可微，则复合函数 \(y=f(\varphi(x))\) 在点 \(x\) 处可微，且 \(\text dy=f'(u)\text du\)。

      证明

      由复合函数的求导法则知，\(y=f(\varphi(x))\) 在点 \(x\) 处可导，所以在点 \(x\) 处可微。

      \(\text dy=f'(\varphi(x))\varphi'(x)\text dx=f'(\varphi(x))\text d\varphi(x)=f'(u)\text du\)

      例题

      设 \(y=e^{\sin(\ln x)}\)，求 \(\text dy\) 及 \(\dfrac{\text dy}{\text dx}\)。

      解答

      \(\text dy=(e^{\sin(\ln x)})'_{\sin(\ln x)}\text d(\sin(\ln x))=e^{\sin(\ln x)}\cdot \cos(\ln x)\cdot\dfrac 1 x\cdot \text dx\)

      \(\dfrac{\text dy}{\text dx}=e^{\sin(\ln x)}\cdot \cos(\ln x)\cdot \dfrac 1 x\)

    • 参数式函数的导数

      \(\large\frac{\text d y}{\text d x}=\frac{\text d y/\text dt}{\text d x/\text d t}=\frac{y'(t)}{x'(t)}\)

      \(\large\frac{\text d ^2y}{\text d x^2}=\frac{\text d(\frac{\text d y}{\text d x})/\text dt}{\text d x/\text dt}=\frac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}\)

      例题

      设 \(y=y(x)\) 由参数方程 \(\begin{cases}x=\sin t\\y=t\sin t+\cos t\end{cases}\) 确定，求 \(\dfrac{\text d^2y}{\text dx^2}\bigg|_{t=\frac{\pi}4}\)。

      解答

      \(\dfrac{\text dy}{\text dx}=\dfrac{\text dy/\text dt}{\text dx/\text dt}=\dfrac{\sin t+t\cos t-\sin t}{\cos t}=t\)

      \(\dfrac{\text d^2 y}{\text dx^2}=\dfrac{\text d(\frac{\text dy}{\text dx})/\text dt}{\text dx/\text dt}=\dfrac{1}{\cos t}\)

      \(\dfrac{\text d^2 y}{\text dx^2}\bigg|_{t=\frac{\pi}4}=\sqrt 2\)

      证明：曲线 \(x^{\frac 2 3}+y^{\frac 2 3}=a^{\frac 2 3}\,(a>0)\) 上任意一点处的切线被坐标轴所截的弦长为常数。

      解答

      • 法 1：（参数方程的求导）

        参数方程：\(\begin{cases}x=a\cos^3 t\\y=a\sin^3 t\end{cases}\)

        设切点 \(P(a\cos^3 t_0,a\sin^3 t_0)\)，切线斜率 \(k=\dfrac{\text dy/\text dt}{\text dx/\text dt}=\dfrac{3a\sin^2t\cos t}{3a\cos^2t(-\sin t)}\big|_{t=t_0}=-\tan t_0\)，切线 \(l:y-a\sin^3 t_0=-\tan t_0(x-a\cos^3 t_0)\)，切线 \(l\) 与坐标轴的交点为 \(A(a\cos t_0,0),B(0,a\sin t_0)\)，则切线 \(l\) 被坐标轴所截的弦长 \(|AB|=a\)。

      • 法 2：（隐函数的求导）

        方程两边同时对 \(x\) 求导，\(\dfrac 2 3 x^{-\frac 1 3}+\dfrac 2 3 y^{-\frac 1 3}\textcolor{blue}{y'}=0\)，则 \(y'=-(\dfrac y x)^{\frac 1 3}\)

        设切点 \(P(x_0,y_0)\)，切线 \(l:y-y_0=-(\dfrac{y_0}{x_0})^{\frac 1 3}(x-x_0)\)，切线 \(l\) 与坐标轴的交点 \(A(x_0^{\frac 1 3}(x_0^{\frac 2 3}+y_0^{\frac 2 3}),0)=A(a^{\frac 2 3}x_0^{\frac 1 3},0),B(0,a^{\frac 2 3}y_0^{\frac 1 3})\)，\(|AB|=\sqrt{a^{\frac 4 3}(x_0^{\frac 2 3}+y_0^{\frac 2 3})}=a\)。

    • 极坐标方程确定函数的导数

      其实就是求参数方程 \(\begin{cases}x=r(\theta)\cos\theta\\y=r(\theta)\sin\theta\end{cases}\) 的导数。

      \(\large\frac{\text dy}{\text dx}=\frac{\text dy/\text d\theta}{\text dx/\text d\theta}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}\)

      例题

      求阿基米德曲线 \(r=\theta\) 在 \(\theta=\frac{\pi}2\) 处的切线方程。

      解答

      参数方程：\(\begin{cases}x=\theta\cos\theta\\y=\theta\sin\theta\end{cases}\)

      \(\dfrac{\text dy}{\text dx}\bigg|_{\theta=\frac{\pi}2}=\dfrac{\sin\theta+\theta\cos\theta}{\cos\theta-\theta\sin\theta}\bigg|_{\theta=\frac{\pi}2}=-\dfrac{2}{\pi}\)

      切点 \((0,\frac{\pi}2)\)，故切线 \(l:y=-\dfrac{2}{\pi}+\dfrac{\pi}2\)。

  • 近似计算与误差估计

    • 近似计算

      若 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可微，则有 \(f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)\,(\Delta x\to 0)\)

      当 \(|\Delta x|\) 很小时，\(f(x+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\)。

      例题

      计算 \(\sqrt[100]{1.002}\) 的近似值。

      解答

      设 \(f(x)=\sqrt[100]{x}\)，\(f'(x)=\dfrac{1}{100}x^{-\frac{99}{100}}\)。

      \(f(1.002)=f(1+0.002)\approx f(1)+f'(1)\cdot 0.002=1+\dfrac 1 {100}\cdot 0.002=1.00002\)

    • 误差估计

      设 \(x_0\) 为准确数，\(x^*\) 为 \(x_0\) 的近似数。则准确数 \(x_0\) 的：

      • 绝对误差 \(\Delta x\)：\(x^*-x_0\)

      • 绝对误差限 \(\delta_x\)：使得 \(|\Delta x|\leq \delta_x\) 的正数 \(\delta_x\)

      • 相对误差：\(\frac{\Delta x}{x_0}\) 或 \(\frac{\Delta x}{x^*}\)

      • 相对误差限：\(\frac{\delta_x}{|x_0|}\) 或 \(\frac{\delta_x}{|x^*|}\)

      若 \(y=f(x)\)，则 \(|\Delta y|\approx |\text dy|=|f'(x_0)\Delta x|\leq |f'(x_0)|\delta_x\xlongequal{\text{def}}\delta_y\)。

      • \(y\) 的绝对误差限 \(\delta_y\)：\(|f'(x_0)|\delta_x\) 或 \(|f'(x^*)|\delta_x\)

      • \(y\) 的相对误差限：\(\frac{\delta_y}{|y|}=|\frac{f'(x_0)}{f(x_0)}|\delta_x\) 或 \(|\frac{f'(x^*)}{f(x^*)}|\delta_x\)

      例题

      为了计算出球的体积（精确到 \(1\%\)），问度量球的直径 \(D\) 所允许的最大相对误差是多少？

      解答

      \(V=\dfrac{4\pi}{3}(\dfrac D 2)^3=\dfrac{\pi D^3}{6}\)，\(\text dV=\dfrac{\pi D^2}{2}\text dD\)

      \(|\dfrac{\text dV}{V}|=|\dfrac{\frac{\pi D^2}2 \text dD}{\frac{\pi D^3}{6}}|=3|\dfrac{\text dD}{D}|\leq 1\%\)，则 \(|\dfrac{\text dD}{D}|\leq 0.33\%\)，即最大相对误差是 \(0.33\%\)。

  • 高阶微分

题目

  • 定义

    证明：（1）若 \(f(x)\) 是可导的偶函数，则 \(f'(x)\) 是奇函数；（2）若 \(f(x)\) 是可导的奇函数，则 \(f'(x)\) 是偶函数。

    解答

    （1）\(f'(-x)\triangleq \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x-\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)【利用 \(f(-x)=f(x)\)】\(=-\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}=-f'(x)\)

    （2）\(f'(-x)\triangleq \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}\)【利用 \(f(-x)=-f(x)\)】\(=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{-f(x-\Delta x)+f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x-\Delta x)-f(x)}{-\Delta x}=f'(x)\)

    Tip

    若 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处存在任意阶导数，那么：若 \(f(x)\) 为奇函数，则 \(f^{(2n)}(0)=0\)；若 \(f(x)\) 为偶函数，则 \(f^{(2n-1)}(0)=0\)。

    证明：若 \(f(x)\) 是可导的周期为 \(T\) 的周期函数，则 \(f'(x)\) 也是以 \(T\) 为周期的周期函数。

    解答

    \(f'(x+T)\triangleq \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)【利用 \(f(x+T)=f(x)\)】\(=f'(x)\)

  • 从所给条件中挖掘出有用结论

    例题

    设 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续，且 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}x=2\)，求 \(f'(0)\)。

    解答

    \(f(0)=\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}x\cdot x=0\)

    \(f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}x=2\)

    Tip

    设 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处连续且满足 \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A\)，则 \(f(x_0)=0,f'(x_0)=A\)。

    证明：\(f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\times 0=0\)，\(f'(x_0)\triangleq \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A\)。

    设 \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}x&(x>0)\\ax+b&(x\leq 0)\end{cases}\)，且 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导，求 \(a,b\) 的值。

    解答
    Abstract

    \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导，则：\(f(x)\) 在 \(x=0\) 连续（左右极限相等），且左右导数相等。两个未知量，两个条件。

    由于 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导，则 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续。\(f(0+0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}x=\dfrac 1 2\)，\(f(0-0)=\lim\limits_{x\to 0^-}(ax+b)=b\)。由 \(f(0+0)=f(0-0)\) 得 \(b=\dfrac 1 2\)。

    \(f_+'(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}x=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\sqrt{1+x}-1-\frac 1 2 x}{x^2}=-\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\frac 1 4 x^2}{x^2(\sqrt{1+x}+1+\frac 1 2 x)}=-\dfrac 1 8\)，\(f_-'(0)=a\)。由 \(f_+'(0)=f_-'(0)\) 得 \(a=-\dfrac 1 8\)。

    因此 \(a=-\dfrac 1 8\)，\(b=\dfrac 1 2\)。

    Tip

    给出可导的条件，相当于有可导（左右导数相等）和连续（左右极限相等）两个条件。

  • 课本课后习题

    例题

    设 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上有定义，\(x_0\in(a,b)\)，\(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处可导。设数列 \(\{x_n\},\{y_n\}\) 满足 \(a<x_n<x_0<y_n<b\)，且 \(\lim\limits_{n\to \infty}x_n=x_0\)，\(\lim\limits_{n\to \infty}y_n=x_0\)。证明：\(\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(x_0)\)。

    解答

    \(\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_n}+\dfrac{f(x_0)-f(x_n)}{y_n-x_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0}\cdot\dfrac{y_n-x_0}{y_n-x_n}+\dfrac{f(x_0)-f(x_n)}{x_0-x_n}\cdot \dfrac{x_0-x_n}{y_n-x_n}=\lim\limits_{n\to \infty}f'(x_0)(\dfrac{y_n-x_0}{y_n-x_n}+\dfrac{x_0-x_n}{y_n-x_n})=f'(x_0)\)

    设 \(f(x)\) 在 \(x\neq 0\) 时可导，且对任意非零数 \(x,y\) 均有 \(f(xy)=f(x)+f(y)\)，又 \(f'(1)\) 存在，证明当 \(x\neq 0\) 时，\(f(x)\) 可导。

    解答

    \(f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f[x(1+\frac{\Delta x}x)]-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(1+\frac{\Delta x}x)}{\Delta x}=\dfrac 1 x\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(1+\frac{\Delta x}x)}{\frac{\Delta x}x}\)

    又 \(f(1\cdot y)=f(1)+f(y)\Rightarrow f(1)=0\)

    则 \(f'(x)=\dfrac 1 x\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(1+\frac{\Delta x}x)-f(1)}{\frac{\Delta x}x}=\dfrac 1 x f'(1)\)。故 \(f(x)\) 在 \(x\neq 0\) 时处处可导。

易错点

  • 注意对谁求导。如 \((x^y)_x'=yx^{y-1}\)，\((x^y)_y'=x^y\ln x\)

  • 注意 \(f'(x_0)>0\) 不能说明 \(f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 单调递增，只能说明 \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\)。