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第四章 不定积分

知识点

不定积分的概念

  • 原函数：设 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义，若存在可导函数 \(F(x)\) 满足 \(\forall x\in I,F'(x)=f(x)\)，则称 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上的一个原函数。

    原函数的存在性-不定积分的可积

    • 连续函数一定存在原函数。（非连续函数也可能有原函数）

    • 含第一类间断点的函数，不存在原函数。（含第二类间断点的函数，可能存在原函数。如 \(F(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac 1 x&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{cases}\)，设 \(f(x)=F'(x)\)，则 \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的第二类间断点，但其存在原函数 \(F(x)\)）

  • 不定积分：\(f(x)\) 的所有原函数组成的集合称为 \(f(x)\) 的不定积分，记作 \(\int f(x)\text dx\)。若 \(F'(x)=f(x)\)，则 \(\int f(x)\text dx=F(x)+C\)，其中，\(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x)\text dx\) 称为被积表达式，\(x\) 称为积分变量，\(C\) 称为积分常数，\(\int\) 称为不定积分号。

  • 不定积分的性质

    若 \(f(x),g(x)\) 在区间 \(I\) 上存在原函数 \(F(x),G(x)\)，则

    • \([\int f(x)\text dx]'=f(x)\)
    • \(\int F'(x)\text dx=F(x)+C\)
    • \(\int [f(x)+g(x)]\text dx=\int f(x)\text dx+\int g(x)\text dx\)
    • \(\int kf(x)\text dx=k\int f(x)\text dx\)

  • 基本积分

    \(\int \text dx=x+C\)

    \(\int x^{\alpha}\text dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha+1}+C\,(\alpha\neq -1)\)，\(\int \frac 1 x \text dx=\ln |x|+C\)，\(\int a^x\text dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\,(a>0,a\neq 1)\)，\(\int e^x\text dx=e^x+C\)

    \(\int \cos x\text dx=\sin x+C\)，\(\int \sin x\text dx=-\cos x+C\)，\(\int \sec^2 x\text dx=\tan x+C\)，\(\int \sec x\tan x\text dx=\sec x+C\)，\(\int \csc^2 x\text dx=-\cot x+C\)，\(\int \csc x\cot x\text dx=-\csc x+C\)

    \(\int \frac{\text dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\) 或 \(-\arccos x+C\)，\(\int \frac{\text dx}{1+x^2}=\arctan x+C\) 或 \(-\text{arccot }x+C\)

    \(\int \text{sinh }x\text dx=\text{cosh }x+C\)，\(\int \text{cosh }x\text dx=\text{sinh }x+C\)

    例题-直接积分法

    计算：（1）\(\int \dfrac{x^3+3x^2+x-3}{x^2+1}\text dx\)；（2）\(\int (e^{2x}\pi^x)\text dx\)；（3）\(\int \sqrt{x\sqrt[3]{x^2}}\text dx\)。

    解答

    （1）\(=\int \dfrac{(x^3+x)+(3x^2+3)-6}{x^2+1}\text dx=\int (x+3-\dfrac 6 {x^2+1})\text dx=\dfrac 1 2 x^2+3x-6\arctan x+C\)

    （2）\(=\int (e^2\pi)^x\text dx=\dfrac{(e^2\pi)^x}{\ln(e^2\pi)}+C\)

    （3）\(=\int x^{\frac 5 6}\text dx=\dfrac 6 {11} x^{\frac {11} 6}+C\)

    计算：（1）\(\int \sin^2\frac x 2\text dx\)；\(\int \dfrac{1}{\sin^2 x\cos^2 x}\text dx\)；（3）\(\int \tan^2 x\text dx\)。

    解答

    （1）\(=\int \dfrac{1-\cos x}2\text dx=\dfrac 1 2 (x-\sin x)+C\)

    （2）\(=\int\dfrac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}\text dx=\int \sec^2 x\text dx+\int \csc^2 x\text dx=\tan x-\cot x+C\)

    （3）\(=\int (\sec^2 x-1)\text dx=\tan x-x+C\)

    分段函数的积分：注意 \(F(x)\) 可导 \(\Rightarrow\) \(F(x)\) 连续

    设 \(f(x)=\begin{cases}\cos x-x^2+1&(x\leq 0)\\2e^x&(x>0)\end{cases}\)，求：\(\int f(x)\text dx\)。

    解答

    由于 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续，则 \(f(x)\) 的原函数存在。

    • 当 \(x\leq 0\) 时，\(\int f(x)\text dx=\int (\cos x-x^2+1)\text dx=\sin x-\dfrac 1 3 x^3+x+C_1\)。
    • 当 \(x>0\) 时，\(\int f(x)\text dx=\int 2e^x\text dx=2e^x+C_2\)。

    故 \(F(x)=\begin{cases}\sin x-\frac 1 3 x^3+x+C_1&(x\leq 0)\\2e^x+C_2&(x>0)\end{cases}\)。

    由于 \(F(x)\)可导，故 \(F(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上连续。而 \(F(0-0)=C_1\)，\(F(0+0)=2+C_2\)，则 \(C_1=C_2+2\)。

    故 \(F(x)=\begin{cases}\sin x-\frac 1 3 x^3+x+C+2&(x\leq 0)\\2e^x+C&(x>0)\end{cases}\)。

    注意

    分段函数的积分，要确保原函数在分界点处的连续性。

不定积分的几种基本方法

  • 凑微分法（第一换元法）

    设 \(F(u)\) 可导，\(F'(u)=f(u)\)，\(u=\varphi(x)\) 可导，则 \(\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\text dx=\int f(\varphi(x))\text d(\varphi(x))=F(\varphi(x))+C\)。

    证明

    由于 \([F(\varphi(x))]'=F'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x)\)，所以 \(\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\text dx=F(\varphi(x))+C\)。

    常见的凑微分公式

    \(\text dx=\frac 1 a \text d(ax+b)\,(a\neq 0)\)，\(e^x\text dx=\text d(e^x)\)，\(\frac {\text dx} x=\text d(|\ln x|)\)

    \(x\text dx=\frac 1 2 \text d(x^2)=\frac 1 2 \text d(x^2\pm a^2)=-\frac 1 2 \text d(a^2-x^2)\)

    \(\sin x\text dx=-\text d(\cos x)\)，\(\cos x\text dx=\text d(\sin x)\)，\(\sec^2 x\text dx=\text d(\tan x)\)，\(\sec x\tan x\text dx=\text d(\sec x)\)

    \(\frac{\text dx}{1+x^2}=\text d(\arctan x)\)，\(\frac{\text dx}{\sqrt{1-x^2}}=\text d(\arcsin x)\)

    \(\frac{\text dx}{2\sqrt x}=\text d(\sqrt x)\)，\(\frac{x}{\sqrt{a^2\pm x^2}}\text dx=\frac{\text d(x^2)}{2\sqrt{a^2\pm x^2}}=\pm \text d(\sqrt{a^2\pm x^2})\)

    \(\int \frac{\text dx}{ax+b}=\frac 1 a \ln|ax+b|+C\,(a\neq 0)\)

    \(\int \frac{\text dx}{x^2-a^2}=\frac 1 {2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C\)，\(\int \frac{\text dx}{x^2+a^2}=\frac 1 a\arctan \frac x a+C\)，\(\int \frac{\text dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac x a+C\,(a>0)\)

    证明

    \(\int \dfrac{\text dx}{x^2-a^2}=\dfrac 1 {2a}\int (\dfrac 1 {x-a}-\dfrac 1{x+a})\text dx=\dfrac 1 {2a}\ln|\dfrac{x-a}{x+a}|+C\)

    \(\int \dfrac{\text dx}{x^2+a^2}=\dfrac 1 {a^2}\cdot a\cdot \int \dfrac{\text d(\frac x a)}{(\frac x a)^2+1}=\dfrac 1 a \arctan \dfrac x a+C\)

    \(\int \dfrac{\text dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\dfrac 1 a\cdot a\cdot \int \dfrac{\text d(\frac x a)}{\sqrt{1-(\frac x a)^2}}=\arcsin \dfrac x a+C\)

    \(\int \tan x\text dx=-\ln|\cos x|+C\)，\(\int \cot x\text dx=\ln|\sin x|+C\)

    证明

    \(\int \tan x\text dx=\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\text dx=-\int \dfrac{\text d(\cos x)}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C\)

    \(\int \cot x\text dx=\int \dfrac{\cos x}{\sin x}\text dx=\int\dfrac{\text d(\sin x)}{\sin x}=\ln|\sin x|+C\)

    \(\int \sec x\text dx=\ln|\sec x+\tan x|+C=-\ln|\sec x-\tan x|+C\)

    \(\int \csc x\text dx=\ln|\csc x-\cot x|+C=-\ln|\csc x+\cot x|+C\)

    证明

    • 法 1：

      \(=\int \dfrac {\text dx}{\cos x}=\int \dfrac{\cos x\text dx}{\cos^2 x}=\int \dfrac{\text d(\sin x)}{1-\sin^2 x}=\dfrac 1 2 \ln\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}+C\)

      注：\(\dfrac 1 2 \ln\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}=\dfrac 1 2 \ln\dfrac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}=\ln\dfrac{1+\sin x}{\cos x}=\ln|\sec x+\tan x|\)

    • 法 2：

      \(=\int \dfrac{\text dx}{\sin(x+\frac{\pi}2)}=\int \dfrac{\text dx}{2\sin (\frac x 2+\frac{\pi}4)\cos(\frac x 2+\frac{\pi}4)}=\int \dfrac{\sec^2 (\frac x 2 +\frac{\pi}4)\text d(\frac x 2+\frac{\pi}4)}{\tan (\frac x 2+\frac{\pi}4)}=\ln|\tan(\frac x 2+\frac{\pi}4)|+C\)

    • 法 3：

      \(=\int\dfrac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\text dx=\int \dfrac{\text d(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}=\ln|\sec x+\tan x|+C\)

    \(\int\frac{\text dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\,(a>0)\)，\(\int \frac{\text dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\,(a>0)\)

    证明

    • 设 \(x=a\tan t\)，则 \(\text dx=a\sec^2 t\text dt\)。

      \(\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\text dx=\int \dfrac{1}{a\sec t}\cdot a\sec^2 t\text dt=\int \sec t\text dt=\ln|\sec x+\tan x|+C=\ln|\dfrac x a +\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}a|+C=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\)

    • 设 \(x=a\sec t\)，则 \(\text dx=a\sec t\tan t\text dt\)。

      \(\int \dfrac 1 {\sqrt {x^2-a^2}}\text dx=\int \dfrac{1}{a\tan t}\cdot a\sec t\tan t\text dt=\int \sec t\text dt=\ln|\sec t+\tan t|+C=\ln|\dfrac x a+\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}a|+C=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C\)

    \(\int \sqrt{a^2-x^2}\text dx=\frac x 2\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}2\arcsin\frac x a+C\,(a>0)\)

    证明

    设 \(x=a\sin t\)，则 \(\text dx=a\cos t\text dt\)。

    \(\int \sqrt{a^2-x^2}\text dt=\int a\cos t\text a\cos t\text dt=a^2\int \cos^2 t\text dt=\dfrac{a^2}2\int (1+\cos 2t)\text dt=\dfrac{a^2}2(t+\dfrac 1 2 \sin 2t)+C=\dfrac{a^2}2t+\dfrac{a^2}2\sin t\cos t+C=\dfrac{a^2}2\arcsin \dfrac x a+\dfrac x 2 \sqrt{a^2-x^2}+C\)

    \(\int \sqrt{x^2\pm a^2}\text dx=\frac x 2\sqrt{x^2\pm a^2}+\frac{a^2}2\ln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+C\,(a>0)\)

    \(\int \sec^3 x\text dx=\frac 1 2\sec x\tan x+\frac 1 2\ln|\sec x+\tan x|+C\)

    例题

    计算：（1）\(\int \sin^2 x\cos x\text dx\)；（2）\(\int \dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\text dx\)；（3）\(\int \dfrac{x}{1+x^2}\text dx\)；（4）\(\int (2x-1)^{2024}\text dx\)；（5）\(\int \dfrac{x+\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\text dx\)。

    解答

    （1）\(=\int \sin^2 x\text d(\sin x)=\dfrac 3 \sin^3 x+C\)

    （2）\(=\int \dfrac{\text d(e^x)}{1+(e^x)^2}=\arctan e^x+C\)

    （3）\(=\int \dfrac{\text d(1+x^2)}{1+x^2}=\dfrac 1 2\ln(1+x^2)+C\)

    （4）\(=\dfrac 1 2 \int (2x-1)^{2024}\text d(2x-1)=\dfrac 1 {4050}(2x-1)^{2025}+C\)

    （5）\(=\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\text dx+\int\dfrac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\text dx=-\dfrac 1 2 \int\dfrac{\text d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}+\int \arcsin x\text d(\arcsin x)=-\sqrt{1-x^2}+\dfrac 1 2 (\arcsin x)^2+C\)

    计算：\(\int \dfrac{\text dx}{a^2\sin^2 x+b^2\cos^2 x}\,(ab\neq 0)\)

    解答

    \(=\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\cdot \dfrac{\text dx}{a^2\tan^2 x+b^2}=\int \dfrac{\text d(\tan x)}{a^2\tan^2 x+b^2}=\dfrac 1 {b^2}\cdot \dfrac b a\cdot \int \dfrac{\text d(\frac a b \tan x)}{(\frac a b\tan x)^2 x+1}=\dfrac 1 {ab}(\arctan \dfrac a b \tan x)+C\)

    计算：\(\int \dfrac{\sin x}{a\cos x+b\sin x}\text dx\,(a^2+b^2\neq 0)\)。

    解答

    记 \(I=\int \dfrac{\sin x}{a\cos x+b\sin x}\text dx\)，\(J=\int \dfrac{\cos x}{a\cos x+b\sin x}\text dx\)，则：

    \(\begin{cases}bI+aJ=\int \dfrac{b\sin x+a\cos x}{a\cos x+b\sin x}\text dx=x+C\\-aI+bJ=\int \dfrac{-a\sin x+b\cos x}{a\cos x+b\sin x}\text dx=\int \dfrac{\text d(a\cos x+b\sin x)}{a\cos x+b\sin x}=\ln|a\cos x+b\sin x|+C\end{cases}\)

    \(\Rightarrow \begin{cases}I=\dfrac{1}{a^2+b^2}(bx-a\ln|a\cos x+b\sin x|)+C\\J=\dfrac{1}{a^2+b^2}(ax+b\ln |a\cos x+b\sin x|)+C\end{cases}\)

    注：实际上，就是以 \((a\cos x+b\sin x)\) 与 \((a\cos x+b\sin x)'\) 为基张成空间 \(V\)，将向量 \(\sin x,\cos x\) 表示为 \((a\cos x+b\sin x)\) 与 \((a\cos x+b\sin x)'\) 的线性组合。\(\sin x=k_1(a\cos x+b\sin x)+k_2(a\cos x+b\sin x)'\)，\(\cos x=l_1(a\cos x+b\sin x)+l_2(a\cos x+b\sin x)'\)。

  • 变量代换法（第二换元法）

    设 \(f(x)\) 连续，\(x=\varphi(t)\) 有连续导数，且 \(\varphi'(t)\neq 0\)，若 \(\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\text dt=F(t)+C\)，则 \(\int f(x)\text dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\text dt=F(t)+C=F(\varphi^{-1}(x))+C\)，其中 \(t=\varphi^{-1}(x)\) 为 \(x=\varphi(t)\) 的反函数。

    证明

    \(\dfrac{\text d}{\text dx}F(\varphi^{-1}(x))=\dfrac{\text d}{\text dt}F(t)\cdot \dfrac{\text dt}{\text dx}=f(\varphi(t))\varphi'(t)\cdot \dfrac{1}{\varphi'(t)}=f(\varphi(t))=f(x)\)

    例题

    计算：（1）\(\int \dfrac{\text dx}{1+\sqrt{x+1}}\)；（2）\(\int \dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\text dx\)。

    解答

    （1）设 \(\sqrt{x+1}=t\)，则 \(x=t^2-1\)，\(\text dx=2t\text dt\)。\(I=\int \dfrac{2t\text dt}{1+t}=2\int (1-\dfrac{1}{t+1})\text dt=2t-2\ln|t+1|+C=2\sqrt{x+1}-2\ln(\sqrt{x+1}+1)+C\)

    （2）设 \(\sqrt{x-1}=t\)，则 \(x=t^2+1\)，\(\text dx=2t\text dt\)。\(I=\int \dfrac{t^2+1}t\cdot 2t\text dt=2\int (t^2+1)\text dt=\dfrac 2 3 t^3+2t+C=\dfrac 2 3 (x-1)^{\frac 3 2}+2\sqrt{x-1}+C\)

    计算：\(\int \dfrac{\text dx}{e^x+1}\)。

    解答

    • 法 1：

      \(I=\int \dfrac{e^x\text dx}{e^x(e^x+1)}=\int (\dfrac 1 {e^x}-\dfrac 1 {e^x+1})\text d(e^x)=x-\ln(e^x+1)+C\)

    • 法 2：

      设 \(e^x=t\)，则 \(x=\ln t\)，\(\text dx=\dfrac 1 t\text dt\)。

      \(I=\int \dfrac{\frac 1 t \text dt}{t+1}=\int (\dfrac 1 t-\dfrac 1 {t+1})\text dt=\ln t-\ln (t+1)+C=x-\ln(e^x+1)+C\)

    计算：（1）\(\int \dfrac 1 {\sqrt{1+e^x}}\text dx\)；（2）\(\int \sqrt{1+e^x}\text dx\)。

    解答

    设 \(\sqrt{1+e^x}=t\)，则 \(x=\ln(t^2-1)\)，\(\text dx=\dfrac{2t}{t^2-1}\text dt\)。

    （1）\(=\int \dfrac 1 t\cdot \dfrac{2t}{t^2-1}\text du=\int (\dfrac 1 {t-1}-\dfrac 1 {t+1})\text du=\ln|\dfrac{t-1}{t+1}|+C=\ln\dfrac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C\)

    （2）\(=\int u\cdot \dfrac{2u}{u^2-1}\text du=2\int(1+\dfrac{1}{u^2-1})\text du=2\int (1+\dfrac 1 2 (\dfrac 1 {u-1}-\dfrac 1 {u+1}))\text du=2u+\ln|\dfrac{u-1}{u+1}|+C=2\sqrt{1+e^x}+\ln\dfrac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C\)

    计算：\(\int \dfrac{\text dx}{x^2\sqrt{x^2-1}}\)。

    解答

    • 法 1：（三角变换）

      设 \(x=\sec t\)，则 \(\text dx=\sec t\tan t\text dt\)。

      \(I=\int \dfrac{\sec t\tan t\text dt}{\sec^2 t\tan t}=\int \cos t \text dt=\sin t+C=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}x+C\)

    • 法 2：（倒数变换）

      设 \(x=\dfrac 1 t\)，则 \(\text dx=-\dfrac{\text dt}{t^2}\)。

      \(I=\int \dfrac{t^3}{\sqrt{1-t^2}}\cdot (-\dfrac 1 {t^2}\text dt)=-\int \dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}\text dt=\sqrt{1-t^2}+C=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}x+C\)

  • 分部积分法

某些特殊类型函数的不定积分

  • 有理函数的不定积分
  • 三角函数有理式的不定积分
  • 某些无理函数的不定积分