第五章 定积分及其应用
知识点¶
定积分概念¶
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定积分的定义
定义
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定义 1：
若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有定义，取 \(a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\)，\(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\)。记 \(\Delta x_i=x_i-x_{i-1}\,(i=1,2,\cdots,n)\)，\(\lambda=\max\limits_{1\leq i\leq n}\Delta x_i\)，若 \(\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i\) 存在且与 \(x_i,\xi_i\) 的取法都无关，则称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，\(\int_a^b f(x)\text dx=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\) 为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的定积分。
\(\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x\) 称为积分和式，\(a,b\) 分别成为定积分的下限与上限，\([a,b]\) 称为积分区间，\(x\) 称为积分变量，\(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x)\text dx\) 称为被积表达式。
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定义 2（用 \(\varepsilon-\delta\) 语言叙述）：
若存在一常数 \(I\)，对 \(\forall\varepsilon>0\)，\(\exists\delta>0\)，使得对任意的分割 \(T:a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\)，只要 \(\max\limits_{1\leq i\leq n}\Delta x_i=\lambda(T)<\delta\)，任给 \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\)，都有 \(|\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i-I|<\varepsilon\) 成立，则称 \(I\) 为 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的定积分。
定积分 \(\int_a^b f(x)\text dx\) 也称为黎曼积分。
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凑定积分的定义
\(\int_a^b f(x)\text dx=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n f(a+\frac{b-a}ni)\frac{b-a}n\)。特别地，\(\int_0^1 f(x)\text dx=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n f(\frac i n)\frac 1 n\)。
例题
\(\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac 1 {n+i}\)
解答
\(=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\dfrac 1 {1+\frac i n}\cdot \dfrac 1 n=\int_0^1 \dfrac 1{1+x}\text dx\)
注意
不定积分是原函数全体，定积分是一个具体的数值。
不定积分可积 ≠ 定积分可积。
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定积分的几何意义
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可积函数类
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可积的必要条件：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必有界。
（闭区间上的有界函数不一定可积，如 \(f(x)=\begin{cases}1&(x\in\mathbb Q)\\0&(x\in\mathbb Q)\end{cases}\)）
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可积的充分条件：
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积。
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，且只有有限个间断点，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积。
- 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积。
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定积分的性质和基本定理¶
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定积分的基本性质
- \(\int_a^b \text dx=b-a\)
- \(\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\text dx\)