第三章 矩阵的运算

2025-11-272025-11-27

知识点

矩阵的加减法、数乘、乘法和转置

• 矩阵的加减和数乘统称为矩阵的线性运算，满足交换律、结合律、分配律、数和矩阵相乘的结合律。

  注意

  • \(|kA|=k^n |A|\neq k|A|\,(n\geq 2,\,k\neq 0,1)\)

  • 一般地，\(|A+B|\neq |A|+|B|\)

• 矩阵的乘法：若矩阵 \(A\) 的列数等于矩阵 \(B\) 的行数，则 \(A,B\) 可以相乘。矩阵乘法满足结合律、分配律、数乘与矩阵结合的结合律。\(C_{ij}=(\alpha_i^T,\beta_j)\)。

  注意

  • 矩阵的乘法一般情况下不满足交换律，即 \(AB\neq BA\)。故一般地，\((A\pm B)^2\neq A^2\pm 2AB+B^2\)，\((A+B)(A-B)\neq A^2-B^2\)，\((AB)^k\neq A^kB^k\)

    但任意 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 与 \(n\) 阶单位矩阵 \(E\) 可交换，故总有 \(A^2-E=(A-E)(A+E)\)，\((A+\lambda E)^n=\sum_{i=0}^n C_n^i A^i(\lambda E)^{n-i}=\sum_{i=0}^n C_n^i \lambda^{n-i}A^i\)。

    （当且仅当矩阵乘积可交换时，我们学过的某些代数公式才可扩展到矩阵的情况）

  • \(AB=O\not\Rightarrow A=O\) 或 \(B=O\)

  • \(AB=AC\Rightarrow A(B-C)=O\not\Rightarrow A=O\) 或 \(B=C\)

  若存在 \(A\neq O,B\neq O\) 满足 \(AB=O\)，则称 \(A\) 为 左零因子，\(B\) 为 右零因子。

  方阵乘积的行列式：对于 \(n\) 阶方阵 \(A,B\)，\(|AB|=|A||B|\)。

• 矩阵的转置：\((A^T)^T=A\)，\((kA)^T=kA^T\)，\((A+B)^T=A^T+B^T\)，\((AB)^T=B^TA^T\)，\(r(A)=r(A^T)\)。若 \(A\) 为方阵，\(|A|=|A^T|\)

• 矩阵的幂：方阵才有幂。

  若 \(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m\)，则 \(f(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m\)。

• 几种重要矩阵：零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，反对称矩阵。

  方阵与特殊矩阵的乘法

  对于 \(A = (a_{ij})_{n \times n}\)：

  \[ \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)\times A = \begin{pmatrix} \lambda_1 a_{11} & \lambda_1 a_{12} & \cdots & \lambda_1 a_{1n} \\ \lambda_2 a_{21} & \lambda_2 a_{22} & \cdots & \lambda_2 a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_n a_{n1} & \lambda_n a_{n2} & \cdots & \lambda_n a_{nn} \end{pmatrix}\\ A \times \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n) = \begin{pmatrix} \lambda_1 a_{11} & \lambda_2 a_{12} & \cdots & \lambda_n a_{1n} \\ \lambda_1 a_{21} & \lambda_2 a_{22} & \cdots & \lambda_n a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1 a_{n1} & \lambda_2 a_{n2} & \cdots & \lambda_n a_{nn} \end{pmatrix}\\ \text{diag}(\lambda, \lambda, \cdots, \lambda)\times A=A\times \text{diag}(\lambda, \lambda, \cdots, \lambda)=\begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{n1} & \lambda a_{n2} & \cdots & \lambda a_{nn} \end{pmatrix} = \lambda A \]

矩阵求逆

• 逆矩阵

  • 逆矩阵的定义

    对于 \(n\) 阶方阵 \(A\)，若存在 \(n\) 阶方阵 \(B\) 使得 \(AB=BA=E\)，则称 \(A\) 可逆（非退化/非奇异），且 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵。否则，称 \(A\) 不可逆（退化/奇异）。

    1. 逆矩阵是唯一的。

       证明

       反证。若 \(B\neq C\)，\(AB=BA=E\) 且 \(AC=CA=E\)，则 \(B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C\)，矛盾。

    2. \(A_{n\times n}\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(|A|\neq 0\)。当 \(|A|\neq 0\) 时，\(A\) 可逆，且 \(A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}\)。

       证明

       引理

       \(AA^*=A^*A=|A|E\)

       证明：

       \(\sum_{k=1}^n a_{ik}A^*_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}=|A|[i=j]\)

       \(\sum_{k=1}^n A^*_{ik}a_{kj}=\sum_{k=1}^n A_{ki}a_{kj}=|A|[i=j]\)

       \(\Rightarrow\)：\(AA^{-1}=E\)，则 \(|A||A^{-1}|=|E|=1\)，即 \(|A|\neq 0\)。

       \(\Leftrightarrow\)：\(AA^*=A^*A=|A|E\)，由于 \(|A|\neq 0\)，则 \(A\cdot \dfrac{A^*}{|A|}=\dfrac{A^*}{|A|}A=E\)，可知 \(A\) 可逆，\(A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}\)。

    3. 对于 \(A_{n\times n},B_{n\times n}\)，\(AB=E\) 或 \(BA=E\) \(\Leftrightarrow\) \(A^{-1}=B\) 且 \(B^{-1}=A\)。也就是说，\(AB=E\Leftrightarrow BA=E\Leftrightarrow A,B\) 互为逆矩阵。

       证明

       • \(\Rightarrow\)：

         下证 \(AB=E\Rightarrow A^{-1}=B,B^{-1}=A\)。

         \(AB=E\Rightarrow |AB|=|E|\Rightarrow |A|\neq 0,|B|\neq 0\Rightarrow \exists A^{-1},B^{-1}\)

         \(A^{-1}=A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B=B\)

         \(B^{-1}=(AB)B^{-1}=A(BB^{-1})=A\)

       • \(\Leftarrow\)：显然

  • 逆矩阵的性质与重要公式

    设 \(A,B\) 是同阶可逆矩阵，则：

    • \((A^{-1})^{-1}=A\)
    • 若 \(k\neq 0\)，则 \((kA)^{-1}=\frac 1 k A^{-1}\)
    • \(AB\) 也可逆，且 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
    • \(A^T\) 也可逆，且 \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
    • \(|A^{-1}|=|A|^{-1}\)
    证明

    证 \(A^{-1}=B\)，只需证 \(AB=E\)。显然：

    • \(A^{-1}A=E\)
    • \((kA)(\dfrac 1 k A^{-1})=E\)
    • \(|AB|=|A||B|\neq 0\Rightarrow\) \(AB\) 可逆。\((AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=E\)
    • \(A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E\)

    最后一条利用 \(|AB|=|A||B|\) 证。

    • \(|A^{-1}|=\dfrac{|E|}{|A|}=\dfrac{1}{|A|}\)
    注意

    \(A+B\) 不一定可逆，且 \((A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}\)。

• 伴随矩阵

  • 伴随矩阵的定义

    \(A^{*}=\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&\cdots&A_{n,1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&\cdots&A_{n,2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1,n}&A_{2,n}&\cdots&A_{n,n}\end{pmatrix}\)（将 \(a_{i,j}\) 换成 \(A_{i,j}\) 再转置）。

  • 伴随矩阵的性质与重要公式

    • 对任意 \(n\) 阶方阵 \(A\)，都有伴随矩阵 \(A^*\)，且 \(AA^*=A^*A=|A|E\)，\(|A^*|=|A|^{n-1}\)。

      证明

      若 \(|A|\neq 0\)：\(|A^*|=||A|A^{-1}|=|A|^n\cdot |A|^{-1}=|A|^{n-1}\)

      若 \(|A|=0\)：反证。假设 \(|A^*|\neq 0\)，则 \((A^{*})^{-1}\) 存在，又 \(AA^*=|A|E=O\Rightarrow A A^*(A^{*})^{-1}=O\cdot (A^*)^{-1}\Rightarrow A=O\Rightarrow A^*=O\)，与 \(|A^*|\neq 0\) 矛盾。故 \(|A^{*}|=0\)。

      Tip

      \(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(A^*\) 可逆

      证明

      • \(\Rightarrow\)：若 \(A\) 可逆，可知 \(|A|\neq 0\)，又由 \(AA^*=|A|E\)，有 \(\dfrac A {|A|}A^*=E\)，即有 \(A^*\) 可逆，且 \((A^*)^{-1}=\dfrac{A}{|A|}\)。
      • \(\Leftarrow\)：若 \(A^*\) 可逆，用反证法，假设 \(A\) 不可逆，则 \(AA^*=|A|E=O\)，易得 \(A=O\)。此时 \(A\) 的全部代数余子式 \(A_{ij}=0\)，其伴随矩阵 \(A^*=O\)，与 \(A^*\) 可逆矛盾。

      Tip

      若 \(AB=O\) 且 \(B\) 可逆，则 \(A=O\)：因为等式两边同时乘以 \(B^{-1}\) 可得 \(ABB^{-1}=OB^{-1}\)，即 \(A=O\)。

    • 下面没写 \(A^{-1}\) 的都是 \(|A|=0\) 也成立：

      • \(A^*=|A|A^{-1}\)，\(A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}\)，\(A=|A|(A^*)^{-1}\)

      • \((kA)^*=k^{n-1}A^*\)，\((A^T)^*=(A^*)^T\)，\((A^{-1})^*=(A^*)^{-1}=\frac A {|A|}\)，\((A^*)^*=|A|^{n-2}A\)，\((AB)^*=B^*A^*\)

      证明（仅证明 \(|A|\neq 0\) 的情况）

      • 利用 \(AA^*=|A|E\)：

        \(A^{-1}AA^*=A^{-1}|A|E\Rightarrow A^*=A^{-1}|A|\)，\(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*\)

        \(AA^*(A^*)^{-1}=|A|E(A^*)^{-1}\Rightarrow A=|A|(A^*)^{-1}\)

      • 利用 \(A^*=|A|A^{-1}\)

        \((kA)^*=|kA|(kA)^{-1}\Rightarrow (kA)^*=k^n|A|\cdot \dfrac 1 k A^{-1}=k^{n-1}|A|A^{-1}=k^{n-1}A^*\)

        \((A^T)^*=|A^T|(A^T)^{-1}=|A|(A^{-1})^T=(|A|A^{-1})^T=(A^*)^T\)

        \((A^{-1})^*=|A^{-1}|(A^{-1})^{-1}=(|A|A^{-1})^{-1}=(A^*)^{-1}\)

        \((A^*)^*=|A^*|(A^*)^{-1}=|A|^{n-1}(|A|A^{-1})^{-1}=|A|^{n-2}A\)

        \((AB)^*=|AB|(AB)^{-1}=|B|B^{-1}|A|A^{-1}=B^*A^*\)

      注意

      \((A+B)^*\neq A^*+B^*\)

分块矩阵

• 分块矩阵的定义

  将矩阵 \(A\) 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 \(A\) 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

• 分块矩阵的运算

  分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似。

  • 加法：两个矩阵同型且采用相同的分块法。
  • 数乘
  • 乘法：1. 分块前可以乘（\(A\) 列数等于 \(B\) 行数）；2. 分块完可以乘（\(A\) 列分块方式与 \(B\) 行分块方式一致）

  • 转置：块之间转置，块内也转置。

    \(\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1k} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mk} \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T & \cdots & A_{m1}^T \\ A_{12}^T & A_{22}^T & \cdots & A_{m2}^T \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1k}^T & A_{2k}^T & \cdots & A_{mk}^T \end{pmatrix}\)

  • 分块三角矩阵的逆矩阵

    \(\begin{pmatrix} A_m & C \\ O & B_n \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix} A_m & O \\ C & B_n \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}\)

    \(\begin{pmatrix} C & A_m \\ B_n & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix} O & A_m \\ B_n & C \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}\)

    主：位置不动，直接逆。副：位置对换，再逆。

    \(C\)：添 \(-\)，然后同行靠左，同列靠右。

  • 分块（副）对角矩阵的逆矩阵（假设每个子块都可逆）

    \(\begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & & & \\ & A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n^{-1}\end{pmatrix}\)

    \(\begin{pmatrix} & & & A_1 \\ & & A_2 & \\ & \ddots & & \\ A_n & & & \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} & & & A_{\textcolor{red}n}^{-1} \\ & & A_{\textcolor{red}2}^{-1} & \\ & \ddots & & \\ A_{\textcolor{red}1}^{-1} & & & \end{pmatrix}\)

  • 分块对角矩阵的幂

    \(\begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} A_1^n & & & \\ & A_2^n & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n^n \end{pmatrix}\)

    注：分块副对角矩阵的幂无此规律。

  • 拉普拉斯公式

    ① \(\begin{vmatrix} A_m & O \\ * & B_n \end{vmatrix} = |A||B|, \quad \begin{vmatrix} A_m & * \\ O & B_n \end{vmatrix} = |A||B|\)

    ② $ \begin{vmatrix} O & A_m \ B_n & * \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|, \quad \begin{vmatrix} * & A_m \ B_n & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|$

    ③ 若 \(A=\begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k \end{pmatrix}\) 则 \(|A| = |A_1||A_2|\cdots|A_k|\)

    注：设 \(G = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\) 为 \(k(k \geq 3)\) 阶分块矩阵，且 \(|G| \neq 0\) ，则一般 ① \(|G|\neq |AD - BC|\) ；② \(G^*\neq \begin{pmatrix} D & -B \\ -C & A \end{pmatrix}\) ；③ \(G^{-1}\neq\dfrac{1}{|G|}\begin{pmatrix} D & -B \\ -C & A \end{pmatrix}\)。

初等变换与初等矩阵

• 初等变换：互换，倍乘，倍加

• 初等矩阵的定义

  \(E\) 经过一次初等变换得到的矩阵。

  • 互换初等矩阵：\(E_{ij}\) 表示 \(E\stackrel{R_{ij}}{\longrightarrow}\) 或 \(E\stackrel{C_{ij}}{\longrightarrow}\) 所得的初等矩阵。
  • 倍乘初等矩阵：\(E_i(k)\) 表示 \(E\stackrel{kR_i}{\longrightarrow}\) 或 \(E\stackrel{kC_i}{\longrightarrow}\,(k\neq 0)\) 所得的初等矩阵。
  • 倍加初等矩阵：\(E_{ij}(k)\) 表示 \(E\stackrel{R_i+kR_j}{\longrightarrow}\) 或 \(E\stackrel{C_j+kC_i}{\longrightarrow}\)（注意这里行/列有点区别）所得的初等矩阵。

• 初等矩阵的性质与重要公式

  • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵

  • 初等矩阵都是可逆矩阵，且 \([E_i(k)]^{-1}=E_i(\frac 1 k)\)，\(E_{ij}^{-1}=E_{ij}\)，\([E_{ij}(k)]^{-1}=E_{ij}(-k)\)，其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵。

  • 对矩阵 \(A\) 进行初等行变换，相当于矩阵 \(A\) 左乘对应的初等矩阵；对矩阵 \(A\) 进行初等列变换，相当于矩阵 \(A\) 右乘相应的初等矩阵。

  • \(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 可以表示成若干初等矩阵的乘积。

    证明

    \(\Rightarrow\)：\(A_{n\times n}\) 可逆，则 \(r(A)=n\)，那么一定存在 \(n\) 阶初等矩阵 \(P_1,\cdots,P_s,Q_1,\cdots,Q_r\)，使得 \(P_1\cdots P_sAQ_\cdots Q_t=E\)，即 \(P_s^{-1}\cdots P_1^{-1}P_1\cdots P_sAQ_1\cdots Q_tQ_t^{-1}\cdots Q_1^{-1}=P_s^{-1}\cdots P_1^{-1}EQ_t^{-1}\cdots Q_1^{-1}\)，所以 \(A=P_s^{-1}\cdots P_1^{-1}Q_t^{-1}\cdots Q_1^{-1}\)【初等矩阵的逆仍然是初等矩阵】。

    \(\Leftrightarrow\)：显然。\(A=P_1\cdots P_s\)，\(P_i\) 为初等矩阵，则 \(|A|=|P_1|\cdots |P_s|\neq 0\)。

• 用初等变换求逆矩阵的方法

  \(\left(\begin{array}{c:c}A & B \\\end{array}\right)\xrightarrow{\text{初等行变换}}\left(\begin{array}{c:c}E & A^{-1}B \\\end{array}\right)\)

  特别地，\(\left(\begin{array}{c:c}A & E \\\end{array}\right)\xrightarrow{\text{初等行变换}}\left(\begin{array}{c:c}E & A^{-1} \\\end{array}\right)\)

  \(\begin{pmatrix}A \\\hdashline B\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix}E \\\hdashline BA^{-1}\end{pmatrix}\)

  特别地，\(\begin{pmatrix}A \\\hdashline E\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix}E \\\hdashline A^{-1}\end{pmatrix}\)

  证明

  \(\left(\begin{array}{c:c}A & B \\\end{array}\right)\xrightarrow{\text{初等行变换}}\left(\begin{array}{c:c}A^{-1}A & A^{-1}B \\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c:c}E & A^{-1}B \\\end{array}\right)\)

  即，\(A^{-1}A=P_1\cdots P_sA=E\)，\(A^{-1}B=P_1\cdots P_sB=A^{-1}B\)，也就是 \(A\) 经过一系列初等行变换得到 \(E\) 时，\(B\) 经过同样的初等行变换得到 \(A^{-1}B\)

  \(\begin{pmatrix}A&E\\E&O\end{pmatrix}\xrightarrow{初等行,列变换}\begin{pmatrix}E&C\\B&O\end{pmatrix}\)，则 \(A^{-1}=BC\)

  证明

  \(CAB=E\)，即 \(A=C^{-1}B^{-1}\)，\(A^{-1}=BC\)。

矩阵的秩

• 定义

  对于 \(A_{m\times n}\)，若存在 \(k\) 阶子式不为 \(0\)，而任意 \(k+1\) 阶子式（若有）全为 \(0\)，则 \(r(A)=k\)。

  \(0\leq r(A)\leq \min\{m,n\}\)

  \(A\) 为 \(n\) 阶满秩矩阵 \(\Leftrightarrow r(A)=n\Leftrightarrow |A|\neq 0\Leftrightarrow\) \(A\) 为可逆矩阵。

  \(r(cA)=\begin{cases}0,&c=0\\r(A),&c\neq 0\end{cases}\)，\(r(A_n^{-1})=r(A_n)=n\)（\(A_n\) 可逆）

• 初等变换不改变矩阵的秩

  对于矩阵 \(A_{m\times n}\) 和可逆矩阵 \(P_{m\times m},Q_{n\times n}\)，\(r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)\)。

  \(r(A_{m\times n})=r\Leftrightarrow \exists\) 可逆矩阵 \(P_{m\times m},Q_{n\times n}\)，使得 \(PAQ=\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\)。

  证明

  因为可逆矩阵可以表示成初等矩阵的乘积，而初等变换不影响矩阵的秩。

• 矩阵的秩的重要结论

  1. 矩阵转置的秩

     \(r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T)\)

  2. 矩阵和、差、积的秩

     • \(r(AB)\leq \min\{r(A),r(B)\}\)

       证明

       先证明 \(r(AB)\leq r(A)\)。

       设 \(r(A)=r\)，\(A=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)。

       \(r(AB)=r\begin{pmatrix}P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}QB\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}(QB)\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C\\H\end{pmatrix}\end{pmatrix}=r(C)\leq r\)

       同时 \(r(AB)=r((AB)^T)=r(B^TA^T)\leq r(B^T)=r(B)\)。故得证。

       法 2：显然 \(r(C)\leq r(QB)=r(B)\)。

     • Sylvester 不等式：\(r(A_{m\times n})+r(B_{n\times s})-n\leq r(AB)\)

       证明

       即证 \(r(AB)+n\geq r(A)+r(B)\)。

       \(\begin{pmatrix}AB&O\\O&E_n\end{pmatrix}\xrightarrow{R_1+AR_2}\begin{pmatrix}AB&A\\O&E_n\end{pmatrix}\xrightarrow{C_1+C_2(-B)}\begin{pmatrix}O&A\\-B&E_n\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}O&A\\B&E_n\end{pmatrix}\)

       \(r(AB)+n=r\begin{pmatrix}AB&O\\O&E_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}O&A\\B&E_n\end{pmatrix}\geq r(A)+r(B)\)

       推论：若 \(A_{m\times n},B_{n\times s}\) 且 \(AB=O\)，则 \(r(A)+r(B)\leq n\)。

     • Frobenius（弗罗贝尼乌斯）不等式：\(r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B)\)

       证明

       即证 \(r(ABC)+r(B)\geq r(AB)+r(BC)\)。

       \(\begin{pmatrix}ABC&O\\O&B\end{pmatrix}\xrightarrow{R_1+AR_2}\begin{pmatrix}ABC&AB\\O&B\end{pmatrix}\xrightarrow{C_1+C_2(-C)}\begin{pmatrix}O&AB\\-BC&B\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}O&AB\\BC&B\end{pmatrix}\)

       \(r(ABC)+r(B)=r\begin{pmatrix}ABC&O\\O&B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}O&AB\\BC&B\end{pmatrix}\geq r(AB)+r(BC)\)

     • \(r(A)-r(B)\leq r(A\pm B)\leq r(A)+r(B)\)

       证明

       \(\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\xrightarrow{C_2+C_1}\begin{pmatrix}A&A\\O&B\end{pmatrix}\xrightarrow{R_1+R_2}\begin{pmatrix}A&A+B\\O&B\end{pmatrix}\)

       则 \(r(A)+r(B)=r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}A&A+B\\O&B\end{pmatrix}\geq r(A+B)\)。

     • \(\max\{r(A),r(B)\}\leq r(A,B)\leq r(A)+r(B)\)

       证明

       • \(\max\{r(A),r(B)\}\leq r(A,B)\)：显然

       • \(r(A,B)\leq r(A)+r(B)\)：

         \(\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}A&B\\O&B\end{pmatrix}\)

         \(r(A)+r(B)=r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}A&B\\O&B\end{pmatrix}\geq r(A,B)\)

     • 若 \(P,Q\) 可逆，则 \(r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)\)。

       更一般地，若 \(A\) 列满秩（即 \(r(A_{m\times n})=n\)），则 \(r(AB)=r(B)\)，且有左消去律 \(AB=O\Rightarrow B=O\)，\(AB=AC\Rightarrow B=C\)。（同理，\(A\) 行满秩时有右消去律）

       证明

       设 \(PA=\begin{pmatrix}E_n\\O\end{pmatrix}\)。

       \(r(AB)=r\begin{pmatrix}P\begin{pmatrix}E_n\\O\end{pmatrix}B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}E_n\\O\end{pmatrix}B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}B\\O\end{pmatrix}=r(B)\)

       故 \(r(AB)=r(B)\)。

       若 \(AB=O\)，\(r(AB)=0=r(B)\)，则 \(B=O\)。

       若 \(AB=AC\)，\(r(A(B-C))=0=r(B-C)\)，则 \(B=C\)。

  3. 分块矩阵的秩

     \(r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B)\)

     证明

     设 \(A=P_1\begin{pmatrix}E_{r_1}&O\\O&O\end{pmatrix}Q_1\)，\(B=P_2\begin{pmatrix}E_{r_2}&O\\O&O\end{pmatrix}Q_2\)。

     则 \(\begin{pmatrix}P_1^{-1}&O\\O&P_2^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_1^{-1}&O\\O&Q_2^{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_1^{-1}AQ_1^{-1}&O\\O&P_2^{-1}BQ_2^{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_{r_1}&O&O&O\\O&O&O&O\\O&O&E_{r_2}&O\\O&O&O&O\end{pmatrix}\)

     \(r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}P_1^{-1}&O\\O&P_2^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_1^{-1}&O\\O&Q_2^{-1}\end{pmatrix}\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}E_{r_1}&O&O&O\\O&O&O&O\\O&O&E_{r_2}&O\\O&O&O&O\end{pmatrix}=r(A)+r(B)\)

     \(r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\geq r(A)+r(B)\)

     证明

     设 \(A=P_1\begin{pmatrix}E_{r_1}&O\\O&O\end{pmatrix}Q_1\)，\(B=P_2\begin{pmatrix}E_{r_2}&O\\O&O\end{pmatrix}Q_2\)。

     则 \(\begin{pmatrix}P_1^{-1}&O\\O&P_2^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_1^{-1}&O\\O&Q_2^{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_1^{-1}AQ_1^{-1}&P_1^{-1}CQ_2^{-1}\\O&P_2^{-1}BQ_2^{-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_{r_1}&O&D&E\\O&O&F&G\\O&O&E_{r_2}&O\\O&O&O&O\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}E_{r_1}&O&O&O\\O&O&O&G\\O&O&E_{r_2}&O\\O&O&O&O\end{pmatrix}\)

     \(r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}P_1^{-1}&O\\O&P_2^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_1^{-1}&O\\O&Q_2^{-1}\end{pmatrix}\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}E_{r_1}&O&O&O\\O&O&O&G\\O&O&E_{r_2}&O\\O&O&O&O\end{pmatrix}\geq r(A)+r(B)\)

  4. 伴随矩阵的秩

     \(r(A^*)=\begin{cases}n,&r(A)=n\\1,&r(A)=n-1\\0,&r(A)<n-1\end{cases}\,(n\geq 2)\)，其中 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵

     证明

     • 若 \(r(A)=n\)：

       因为 \(r(A)=n\)，所以 \(|A|\neq 0\)，故 \(|A^*|=|A|^{n-1}\neq 0\)，\(r(A^*)=n\)。

     • 若 \(r(A)=n-1\)：

       Abstract

       证 \(r(A^*)=1\)，只需证 \(r(A^*)\geq 1\) 和 \(r(A^*)\leq 1\)。

       1. 前者：即证 \(A^*\neq O\)，即存在 \(A_{i,j}\neq 0\)。

       2. 后者：\(AA^*=A^*A=|A|E=O\)，则 \(r(A)+r(A^*)\leq n\)。

       1. 因为 \(r(A)=n-1\)，所以 \(A\) 存在 \(n-1\) 阶子式不为 \(0\)。则 \(A^*\neq O\)，即 \(r(A^*)\geq 1\)。

       2. 因为 \(r(A)<n\)，所以 \(|A|=0\)，可得 \(AA^*=|A|E=O\)。则 \(r(A)+r(A^*)\leq n\Rightarrow r(A^*)\leq 1\)（若 \(AB=O\)，则 \(r(A)+r(B)\leq A\) 的列数）。

       故 \(r(A^*)=1\)。

     • 若 \(r(A)<n-1\)：

       \(A\) 中所有 \(n-1\) 阶子式都为 \(0\)，所以 \(A^*=O\)，从而 \(r(A^*)=0\)。

公式总结

• \(|kA|=k^n|A|\)

  \((kA)^T=kA^T\)

  \((kA)^{-1}=\dfrac 1 k A^{-1}\,(k\neq 0)\)

  \((kA)^*=k^{n-1}A^*\)

• \(|A+B|\neq |A|+|B|\)

  \((A+B)^T=A^T+B^T\)

  \((A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}\)

  \((A+B)^*\neq A^*+B^*\)

• \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)

  \((A^*)^{-1}=(A^{-1})^*\)

  \((A^T)^*=(A^*)^T\)

• \(|AB|=|A||B|=|B||A|\)

  \((AB)^T=B^TA^T\)

  \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

  \((AB)^*=B^*A^*\)

  推论：\((A^k)^{-1}=(A^{-1})^k\)，\((A^k)^T=(A^T)^k\)，\((A^k)^*=(A^*)^k\)

• \((A^{-1})^{-1}=A\)，\((A^T)^T=A\)，\((A^*)^*=|A|^{n-2}A\)（二阶有 \((A^*)^*=A\)），\((A^k)^k=A^{k^2}\)

• \(|A^{-1}|=\dfrac 1 {|A|}\)，\(|A^T|=|A|\)，\(|A^*|=|A|^{n-1}\)，\(|A^k|=|A|^k\)

题目

• 方阵的迹：\(\text{tr}(A_{n\times n})=\sum_{i=1}^n a_{ii}\)。\(\text{tr}(A\pm B)=\text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)\)，\(\text{tr}(kA)=k\text{tr}(A)\)，\(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\)

  虽然一般 \(AB\neq BA\)，但是 \(|AB|=|BA|\)、\(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\)（\(A,B\) 均为方阵）。

  \(\text{tr}(\alpha\beta^T)=\beta^T\alpha\)

• 方阵的幂：

  1. 若 \(A\) 各行（列）成比例，即 \(r(A)=1\)：\(A^n=[\text{tr}(A)]^{n-1}A\)

     证明

     利用 \(A_{1\times n}B_{n\times 1}=C_{1 \times 1}\)，\(A_{n\times 1}\times B_{1\times n}=C_{n\times n}\)：

     设 \(\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_k]^T\)，\(\beta=[b_1,b_2,\cdots,b_k]^T\)，\(A=\alpha\beta^T\)，则 \(A^n=(\alpha\beta^T)^n=\alpha(\beta ^T\alpha)^{n-1}\beta^T\)【将一列乘一行转化成一行乘一列。\(\beta^T\alpha\) 是一个数】\(=(\sum_{i=1}^k a_ib_i)^{n-1}A\)。

     而若 \(r(A)=1\)，\(A\) 一定可以拆成上面那种一列乘一行的形式。因为若 \(A_{ij}=a_ib_j\)，则 \(A=[a_1,a_2,\cdots,a_k]^T[b_1,b_2,\cdots,b_k]\)。\(A^n=(\sum_{i=1}^k a_ib_i)^{n-1}A\)【即主对角线元素之和的 \(n-1\) 次方乘以 \(A\)】。

  2. 试算 \(A^2,A^3\) 等，归纳出结果

     残爪型

  3. 若 \(A=B+C\) 且 \(BC=CB\)，则可将 \(A^n=(B+C)^n\) 二项式展开

     例题

     \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)，求 \(A^n\)。

     \(A =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = E + B\)

     当 \(k\geq 3\) 时，\(B^k=O\)

• 方阵的多项式

  • 定义：设 \(x\) 的 \(k\) 次多项式 \(f(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0\)，\(A\) 是 \(n\) 阶矩阵，称 \(f(A)=a_kA^k+a_{k-1}A^{k-1}+\cdots+a_1A+a_0E_n\) 为矩阵 \(A\) 的一个 \(k\) 次多项式。（只有 \(A,E\)，不能混入 \(B\)）
  • 性质：
    • 矩阵 \(A\) 的两个多项式 \(f(A)\) 和 \(\varphi(A)\) 总是可交换的。（因为 \(A^k,A^l,E\) 都可交换）
    • 矩阵 \(A\) 的多项式可以像数的多项式一样相乘或因式分解。例如 \(A^2+2A-3E=(A+3E)(A-E)\)，\((A+E)(E-2A)=-2A^2-A+E\)。
    • 若 \(A = \begin{pmatrix} \lambda_1 &&& \\ & \lambda_2 && \\ && \ddots & \\ &&& \lambda_n \end{pmatrix}\) 为对角矩阵，则 \(f(A) = a_0 E + a_1 A + \cdots + a_m A^m= \begin{pmatrix} f(\lambda_1) &&& \\ & f(\lambda_2) && \\ && \ddots & \\ &&& f(\lambda_n) \end{pmatrix}\)

• 反对称矩阵：\(A^T=-A\)

  反对称矩阵的主对角元 \(a_{ii}\) 全为 \(0\)。

  对于奇数阶的反对称矩阵 \(A\)，有 \(|A|=0\)。

  证明

  设 \(A\) 为 \(n\) 阶反对称阵。\(A^T=-A\Rightarrow |A^T|=|-A|\Rightarrow |A|=(-1)^n|A|\)，\(n\) 为奇数时 \(|A|=-|A|\)，即 \(|A|=0\)。

  任意一个 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和，即 \(A=\frac 1 2 (A+A^T)+\frac 1 2(A-A^T)\)。（因为 \((A+A^T)^T=A^T+A\)，\((A-A^T)^T=A^T-A\)）

• 求逆矩阵

  • 用定义求逆矩阵

    1. 根据定义，若能找到矩阵 \(B\) 使得 \(AB = E\)，则 \(A\) 可逆，且 \(A^{-1} = B\)。

       例题

       设 \(A,B\) 均是 \(n\) 阶矩阵，且 \(AB=A+B\)，则：

       A. \(A-E\) 为可逆矩阵； B. \(A+E\) 为可逆矩阵； C. \(A-2E\) 为可逆矩阵； D. \(B+E\) 为可逆矩阵

       解答

       \(AB-A-B=0\)

       \(A(B-E)-(B-E)=E\)

       \((A-E)(B-E)=E\)

       \(A-E\) 与 \(B-E\) 互为逆矩阵

       答案：A

       \(A_{n\times n},B_{n\times n}\)，\(A+2B=AB\)，证明：\(A-2E\) 可逆。

       解答

       \((A-2E)(B-E)=2E\)，则 \((A-2E)^{-1}=\dfrac 1 2 (B-E)\)。

    2. 分解为可逆矩阵的乘积：若 \(A = BC\) 且 \(B,C\) 均可逆，则 \(A\) 可逆【两个可逆矩阵的乘积仍可逆】，且 \(A^{-1} = (BC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}\)。

       例题

       设 \(A,B\) 是同阶可逆方阵，且 \(A^{-1}+B^{-1}\) 可逆，证明 \(A+B\) 是可逆矩阵，并求 \((A+B)^{-1}\)。

       解答

       \(A+B=A(E+A^{-1}B)=A(B^{-1}+A^{-1})B\) 可逆

       \((A+B)^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}\)

    3. 简单分块矩阵的逆：若 \(A,B\) 均为可逆方阵，则

       \(\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}\)

  • 用伴随矩阵求逆矩阵：若 \(|A|\neq 0\)，则 \(A\) 可逆，且 \(A^{-1}=\dfrac 1 {|A|}A^*\)

    例题

    已知 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，写出 \(A\) 可逆的一个充要条件，当 \(A\) 可逆时，求 \(A^{-1}\)。

    解答

    ① 求 \(|A|=ad-bc\)。\(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(ad\neq bc\)

    ② 求 \(A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)

    Tip

    二阶矩阵 \(A\to A^*\)：主对调，副变号

    ③ 则 \(A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)

  • 用初等变换求逆矩阵

• 设 \(A=P\begin{pmatrix}E_{r(A)}&O\\O&O\end{pmatrix}Q\) 的一类证明题/构造题

  例题

  设 \(r(A_{m\times n})=m\,(m\leq n)\)，则存在 \(B_{n\times m}\) 使得 \(AB=E_m\)。

  证明

  Abstract

  先思考 \(A\) 为相抵标准形的情况，再推广到一般情况。

  \(A\) 为相抵标准形时，\(A=\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}\)，取 \(B=\begin{pmatrix}E_m\\O\end{pmatrix}\)，则 \(AB=\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_m\\O\end{pmatrix}=E_m\)

  然后用 \(A=P\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}Q\) 推广。

  \(A=P\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}Q\)，取 \(B=Q^{-1}\begin{pmatrix}E_m\\O\end{pmatrix}P^{-1}\)，则 \(AB=P\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}QQ^{-1}\begin{pmatrix}E_m\\O\end{pmatrix}P^{-1}=E_m\)

  设 \(r(A_{n\times n})=r\)，\(A^2=A\)，证明 \(\text{tr}(A)=r\)。

  解答

  设 \(A=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)。

  \(A^2=A\Rightarrow P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}QP\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\Rightarrow\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}QP\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\)

  将 \(QP\) 分块为 \(\begin{pmatrix}C_{r\times r}&F\\G&H\end{pmatrix}\)，则 \(\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}QP\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}C_{r\times r}&O\\O&O\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_{r\times r}&O\\O&O\end{pmatrix}\)，于是有 \(C_{r\times r}=E_r\)。

  由于 \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\)，所以 \(\text{tr}(A)=\text{tr}(\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}QP)=\text{tr}(\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_r&F\\G&H\end{pmatrix})=\text{tr}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}=r\)。

  设 \(r(A_{n\times n})=r\)，证明：\(\exists B_{n\times n}\) 且 \(r(B)=n-r\)，使得 \(AB=O\)。

  解答

  设 \(A=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)。

  取 \(B=Q^{-1}\begin{pmatrix}O&O\\O&E_{n-r}\end{pmatrix}\)，则有 \(r(B)=n-r\) 且 \(AB=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\begin{pmatrix}O&O\\O&E_{n-r}\end{pmatrix}=P\cdot O=O\)。

  设 \(r(A_{n\times n})=1\)，证明：\(\exists\) 不全为 \(0\) 的实数 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 和不全为 \(0\) 的实数 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\)，使得 \(A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T(b_1,b_2,\cdots,b_n)\)。

  解答

  设 \(A=P\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{pmatrix}Q\)，则 \(A=P\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\end{pmatrix}Q=\begin{pmatrix}p_{11}\\p_{21}\\\vdots\\p_{n1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_{11}&q_{12}&\cdots&q_{1n}\end{pmatrix}\)。

  由于 \(P,Q\) 可逆，显然 \(\begin{pmatrix}p_{11}\\p_{21}\\\vdots\\p_{n1}\end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix}q_{11}&q_{12}&\cdots&q_{1n}\end{pmatrix}\) 不全为 \(0\)。

  设 \(A_{n\times n}\)，\(r(A)=r>0\)。证明：\(\exists B,C\) 使得 \(r(B)=r(c)=r\) 且 \(AB=CA\)。

  解答

  设 \(A=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)。

  \(P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}QB=CP\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)

  \(P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}QQ^{-1}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}P^{-1}P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)

  取 \(B=Q^{-1}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)，\(C=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}P^{-1}\) 即可。

  设 \(A_{n\times n}\)，证明：存在对称矩阵 \(S\) 和可逆矩阵 \(P\) 使得 \(A=SP\)。

  解答

  设 \(A=B\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)。

  \(A=B\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}B^T(B^T)^{-1}Q\)

  取 \(S=B\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}B^T\)，\(P=(B^T)^{-1}Q\) 即可。

  设 \(A_{n\times n}\)，证明：存在可逆矩阵 \(B\) 和满足 \(C=C^2\) 的 \(C\)，使得 \(A=BC\)。

  解答

  设 \(A=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)。

  \(A=PQQ^{-1}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\)

  取 \(B=PQ\)，\(C=Q^{-1}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q\) 即可。

• 利用矩阵的秩的性质进行证明

  例题

  设 \(A_{m\times n}X_{n\times 1}=d_{m\times 1}\) 有解，\(B_{m\times s}X_{s\times 1}=c_{m\times 1}\) 无解，令 \(G=(A,B,d,c)_{m\times (n+s+2)}\)（将 \(A,B,d,c\) 列拼接），证明：\(r(G)\leq r(A)+r(B)+1\)。

  解答

  \(A_{m\times n}X_{n\times 1}=d_{m\times 1}\) 有解 \(\Rightarrow r(A|d)=r(A)\)

  \(B_{m\times s}X_{s\times 1}=c_{m\times 1}\) 无解 \(\Rightarrow r(B|c)=r(B)+1\)

  则 \(r(A,B,d,c)\leq r(A|d)+r(B|c)\leq r(A)+r(B)+1\)。

  设 \(n\) 阶实方阵 \(A\) 满足 \(A^2=A\)，证明：\(r(A)+r(A-E)=n\)。

  解答

  • \(A^2-A=O\Rightarrow A(A-E)=O\Rightarrow r(A)+r(A-E)\leq n\)
  • \(r(A)+r(A-E)\geq r(A-(A-E))=r(E)\Rightarrow r(A)+r(A-E)\geq n\)

  故 \(r(A)+r(A-E)=n\)。

• 构造分块矩阵的一类题

  例题

  设 \(A_{n\times n},B_{n\times n}\)，证明：\(r\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}\geq r(A+B)+r(A-B)\)。

  证明

  \(\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}\xrightarrow{R_1-R_2}\begin{pmatrix}A-B&B-A\\B&A\end{pmatrix}\xrightarrow{C_1+C_2}\begin{pmatrix}O&B-A\\A+B&A\end{pmatrix}\)

  \(r\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}O&A-B\\A+B&A\end{pmatrix}\geq r\begin{pmatrix}O&A-B\\A+B&O\end{pmatrix}=r(A+B)+r(A-B)\)

• 拆分矩阵

  例题

  设 \(A=\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}\)，求一个三次实系数多项式 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) 使得 \(f(A)\) 为三阶零方阵。

  解答

  设 \(N=A-3E\)，则 \(N^3=O\)。

  \((A-3E)^3=O\Rightarrow A^3-9A^2+27A-27E=O\)，故 \(a=-9,b=27,c=-27\)。

• “摄动法” 处理 “不可逆情形”