第四章 $n$ 元向量空间

2025-11-272025-11-27

知识点¶

向量组¶

线性关系
- 线性组合
- 线性表示/线性表出
  向量组线性表示的等价命题
  - 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示且表示法唯一
    
    $\Leftrightarrow$ 存在且仅存在一组常数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ 使得 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}$
    
    $\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}=\boldsymbol{\beta}$ 有唯一解
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}\end{pmatrix}=n$
    
    若 $\boldsymbol{\alpha}_i$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 是 $n$ 维向量，那么也 $\Leftrightarrow \begin{vmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{vmatrix}\neq 0$
  - 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示且表示法不唯一（无穷多种）
    
    $\Leftrightarrow$ 存在无穷多组常数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ 使得 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}$
    
    $\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}\end{pmatrix}<n$
  - 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 不可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示
    
    $\Leftrightarrow$ 不存在一组常数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ 使得 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{\alpha}_n=\boldsymbol{\beta}$
    
    $\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}=\boldsymbol{\beta}$ 无解
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}<r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}\end{pmatrix}$
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}+1=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}\end{pmatrix}$
  - 向量组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$
    
    $\Rightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}\leq r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$（被表示的秩不大）
    注意
    
    $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}\leq r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$ 推不出向量组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示。不过 $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}> r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$ 能推出向量组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 一定不可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示。
    
    若向量组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 不可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，无法确定 $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}$ 和 $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$ 的大小关系。
- 线性相关，线性无关
  
  单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关。
  
  含有零向量的向量组必线性相关。
  
  两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。
  向量组线性相关（无关）的等价命题
  - 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关
    
    $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s\boldsymbol{\alpha}_s=0$ 有非零解
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_s\end{pmatrix}<s$
    
    $\Leftrightarrow \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 至少有一个向量可由其余 $s-1$ 个向量线性表示
    
    若 $\boldsymbol{\alpha}_i$ 是 $s$ 维向量，那么也 $\Leftrightarrow \begin{vmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_s\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow \begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_s\end{pmatrix}$ 不可逆
    
    推论：多于 $n$ 个 $n$ 维向量一定线性相关
  - 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关
    
    $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s\boldsymbol{\alpha}_s=0$ 只有零解
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_s\end{pmatrix}=s$
    
    $\Leftrightarrow \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 中每一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表示
- 向量组等价
  - 定义：每一个向量组的每一个向量都能由另一个向量组线性表示。
  - 定理：向量组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 和向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 等价
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}$
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$
    
    三秩连等，缺一不可
    
    证明
    
    $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}$
    
    $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 可由 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$
    
    即 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 等价
    
    $\Leftrightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}$
- 重要定理和结论
  - 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 中有一部分向量线性相关，则整个向量组必线性相关。
    
    若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，则其中任一部分向量组必线性无关。
    
    证明
    
    设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_t,\boldsymbol{\alpha}_{t+1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 中，$\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_t$ 线性相关。
    
    不妨设 $\boldsymbol{\alpha}_1=k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_t\boldsymbol{\alpha}_t$，则 $\boldsymbol{\alpha}_1=k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_t\boldsymbol{\alpha}_t+0\cdot \boldsymbol{\alpha}_{t+1}+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_s$。
    
    即 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关。
  - $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，则把这些向量各自添加 $m$ 个分量所得到的新 $m+n$ 维向量组（即接长组）必线性无关；若 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，那么它们各去掉对应的 $m$ 个分量所得到的新向量组也是线性相关的。
    
    证明
    
    $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，延长组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$
    
    $s=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_s\end{pmatrix}\leq r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}\leq s$
    
    $\Rightarrow r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}=s$
  - 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关，而 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{\beta}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\beta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，且表示法唯一。
    证明
    法 1
    
    $\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关 $\Rightarrow \exists$ 不全为 $0$ 的数 $k,k_1,k_2,\cdots,k_n$ 使得 $k\boldsymbol{\beta}+k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{\alpha}_n=0$。
    
    可知 $k\neq 0$（如果 $k=0$，则由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关，得 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 必须全为 $0$，这与 $k,k_1,k_2,\cdots,k_n$ 不全为 $0$ 矛盾）。
    
    则 $\boldsymbol{\beta}=-\dfrac{k_1}k\boldsymbol{\alpha}_1-\dfrac{k_2}k\boldsymbol{\alpha}_2-\cdots-\dfrac{k_n}k\boldsymbol{\alpha}_n$。
    
    再证表示法唯一：
    
    设有两种不同的表示法 $\boldsymbol{\beta}=l_1\boldsymbol{\alpha}_1+l_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+l_n\boldsymbol{\alpha}_n=h_1\boldsymbol{\alpha}_1+h_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+h_n\boldsymbol{\alpha}_n$，$\Rightarrow (l_1-h_1)\boldsymbol{\alpha}_1+(l_2-h_2)\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+(l_n-h_n)\boldsymbol{\alpha}_n=0$。
    
    因为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关，所以必有 $l_i-h_i=0\,(i=1,2,\cdots,n)$，这与假设矛盾。
    
    Tip
    
    用无关向量组去表示另一向量，表示法必唯一（若能表示）。
    
    故 $\boldsymbol{\beta}$ 由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示的表示法唯一。
    法 2
    
    即证 $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}\end{pmatrix}=n$。
    
    因为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关，所以 $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=n$。
    
    因为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n,\boldsymbol{\beta}$ 线性相关，所以 $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}\end{pmatrix}<n+1$。
    
    $n=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}\leq r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}\end{pmatrix}<n+1$，所以 $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}\end{pmatrix}=n$。
  - 向量组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，且 $s>n$，则 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 线性相关。（多由少表示，多必相关）
    
    证明
    
    $r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}\leq r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$【被表示的秩不大】$\leq n<s$
    
    向量组 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$ 线性无关，且可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 表示，则 $s\leq n$。
    
    证明
    
    $s=r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}\leq r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}\leq n$
向量组的极大线性无关组、向量组的秩
- 极大线性无关组
  
  若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 中存在 $r$ 个向量 $\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_{i_2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_r}$ 线性无关，且再添加任一个 $\boldsymbol{\alpha}_j\,(j=1,2,\cdots,s)$ 就有 $\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_{i_2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_r},\boldsymbol{\alpha}_j$ 线性相关，则称 $\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_{i_2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_r}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 的一个极大线性无关组。
  - 零向量组成的向量组没有极大线性无关组，含有非零向量的向量组一定存在极大线性无关组。
    
    向量组中任一个向量均可由向量组的极大线性无关组表示。
    
    向量组的极大线性无关组不唯一，但所包含的向量个数一定相等。
- 向量组的秩
  
  向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 的极大线性无关组 $\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_{i_2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_r}$ 中所含向量个数 $r$，称为向量组的秩，记作 $r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)$。
  
  零向量组成的向量组没有极大线性无关组，规定秩额为 $0$。
- 重要命题和结论
  - 任一向量组与自己的极大线性无关组等价
    
    推论 1：向量组的任意两个极大无关组等价。
    
    推论 2：等价向量组的极大无关组等价。
  - 向量组任意两个极大无关组所含的向量格式相等。
    
    推论：若 $r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=r$，则从 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 中任取 $r$ 个无关向量，即为其极大无关组。
- 向量组的秩与矩阵的秩
  
  矩阵 $A$ 的秩 = $A$ 行向量组的秩（行秩） = $A$ 列向量组的秩（列秩）
- 通过初等行变换求向量组的极大无关组和秩
  
  ① 以向量组为列排成矩阵；② 初等行变换化为行阶梯形（若要求表示法，最好化行最简，否则需要观察）；③ 每一阶梯选一列即为极大无关组（注意这是充分不必要的，可能也存在每一阶梯选多列但也是极大无关组的情况）。
  
  原理：行变换不改变列向量间的线性关系。

向量空间¶

向量空间：
- $n$ 维向量空间：$\mathbb P^n$。
- 子空间：设 $W$ 是 $\mathbb P^n$ 的一个非空子集，且对加法和数乘运算封闭，则称 $W$ 是 $\mathbb P^n$ 的一个子空间。
  
  $\mathbb P^n$ 的平凡子空间：$\{\boldsymbol\theta\}$ 及 $\mathbb P^n$
- 基：向量空间 $W$ 的一个向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关，且 $W$ 中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基。
  
  维数：向量空间的基所含向量个数 $r$ 为该空间的维数。$W$ 的维数通常记作 $\text{dim }W$。
- 设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $\mathbb P^n$ 中的一组向量，则 $L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=\{k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s\mid k_i\in\mathbb P,i=,2,\cdots,s\}$ 是 $\mathbb P^n$ 的一个子空间，称之为由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 所扩张而成的子空间，也常把它记为 $\text{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)$。
- $L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)$ 是包含 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 的最小子空间。
  
  证明
  
  设 $W$ 是 $\mathbb P^n$ 的一个包含 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 的子空间。
  
  由于 $W$ 对加法和数乘运算封闭，则 $\forall \boldsymbol\alpha\in L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)$，$\boldsymbol\alpha=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s\in W$，故 $L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)\subseteq W$。
- 坐标：设 $\boldsymbol{\alpha}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_r\boldsymbol{\alpha}_r$ 称 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_r\end{pmatrix}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 在这组基下的坐标；
- 过渡矩阵：设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n$ 为 $n$ 维空间向量 $V$ 中的两组基，若 $\begin{cases} \boldsymbol{\beta}_1 = m_{11}\boldsymbol{\alpha}_1 + m_{21}\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + m_{n1}\boldsymbol{\alpha}_n \\ \boldsymbol{\beta}_2 = m_{12}\boldsymbol{\alpha}_1 + m_{22}\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + m_{n2}\boldsymbol{\alpha}_n \\ \cdots \\ \boldsymbol{\beta}_n = m_{1n}\boldsymbol{\alpha}_1 + m_{2n}\boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + m_{nn}\boldsymbol{\alpha}_n \end{cases}$，则矩阵 $\boldsymbol M=(m_{ij})_n$ 称为从基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵。将上述基变换表达式简记为 $\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}\boldsymbol M$，称之为基变换公式。
- 坐标变换公式：设向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 和基 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标分别为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{M}$ 为基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵，则有 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =\boldsymbol{M}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ 或 $\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} =\boldsymbol{M}^{-1}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$，称为向量在不同基下的坐标变换公式。
  
  证明
  
  $\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}\boldsymbol x$
  
  $\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_n\end{pmatrix}\boldsymbol y=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}(\boldsymbol M\boldsymbol y)$
  
  由于向量在同一基下的坐标是唯一的，故 $\boldsymbol x=\boldsymbol M\boldsymbol y$。
- 正交基于规范（标准）正交基：向量空间的一组基，如果其中的向量两两正交，称为正交基，若每个向量都为单位向量，则称为规范正交基。

线性方程组¶

线性方程组解的性质
- 齐次线性方程组 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的性质
  
  设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 都是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的解，则解的线性组合 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s$（$k_1,k_2,\cdots,k_s$ 是任意常数）也是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的解。
- 非齐次线性方程组 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 解的性质
  - 设 $\boldsymbol \eta_1,\boldsymbol \eta_2$ 都是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解，则 $\boldsymbol \eta_1-\boldsymbol \eta_2$ 是它的导出组 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的解。
  - 设 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_s$ 都是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解，则：
    - 当 $k_1+k_2+\cdots+k_s=1$ 时，$k_1\boldsymbol{\eta}_1+k_2\boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\eta}_s$ 是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解。
    - 当 $k_1+k_2+\cdots+k_s\neq 0$ 时，$k_1\boldsymbol{\eta}_1+k_2\boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\eta}_s$ 是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的解。
  - 设 $\boldsymbol \eta$ 是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的一个解，$\boldsymbol\xi$ 是它的导出组 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的解，则 $\boldsymbol\eta+\boldsymbol\xi$ 是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解。
线性方程组解的结构（针对无穷多解）
- 齐次线性方程组的基础解系
  - 基础解系的定义：设一组向量 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_s$，若满足
    
    ① $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_s$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的一组解；
    
    ② $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_s$ 线性无关；
    
    ③ $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的任何一个解 $\boldsymbol \xi$ 都可由 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_s$ 线性表示；
    
    则称 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_s$ 为该齐次方程组的基础解系。
    
    （$\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 解向量全体的极大无关组）
  - 重要结论：设矩阵 $\boldsymbol A_{m\times n}$，
    
    ① $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的基础解系含 $n-r(\boldsymbol A)$ 个线性无关的解向量；
    
    ② $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的任意 $n-r(\boldsymbol A)$ 个线性无关的解都可构成 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的基础解系。
    
    （是基础解系 $\Leftrightarrow$ 是解 & 无关 & 含 $n-r(\boldsymbol A)$ 个）
- 齐次线性方程组的通解
  
  设 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 是 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的基础解系，则 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的通解可表示为 $\boldsymbol x=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}$，其中 $k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 为任意数。
  
  注：齐次线性方程组所有解的几何构成一个向量空间，称为该齐次线性方程组的解空间。
- 非齐次线性方程组的通解
  
  当非齐次线性方程组 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 有无穷多解时，它的通解课表示为 $\boldsymbol x=\boldsymbol \eta^*+k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}$，其中 $\boldsymbol\eta^*$ 是方程 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的一个特解，$r=r(\boldsymbol A)$，$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_{n-r}$ 为导出组 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 的基础解系。

欧式空间¶

题目¶

求齐次线性方程组的通解
- 法 1：高斯消元
- 法 2：求基础解系，利用齐次方程组解的结构求解
  1. 常规解法：
    
    ① 对系数矩阵做初等行变换；② 写同解方程；③ 拎出基础解系。
  2. 快速解法：
    
    ① 对系数矩阵 $A$ 做初等行变换变成“行最简”（每个台阶上有一个主元列就行了）；
    
    ② 依次给每一个自由未知量赋 $1$，其余自由未知量全赋 $0$，得 $n-r(A)$ 个无关解（即基础解系）。这个解很容易写出，因为主元的值就是主元对应行、该 $1$ 自由未知量对应列的系数取反，直接把该 $1$ 自由未知量对应列反号顺抄即可。
求非齐次线性方程组的通解
- 法 1：高斯消元
- 法 2：利用非齐次方程组解的结构求解
  
  ① “齐通”：求 $\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 基础解系。
  
  ② “非齐特”：自由未知量全部赋 $0$，得出一个特解。这个解很容易写出，直接把常数项顺抄即可。
例题

设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，问：

（1）$\boldsymbol{\alpha}_1$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示？

（2）$\boldsymbol{\alpha}_4$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示？
解答

（1）能。
- 因为 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关【整体无关，则部分无关】。
  
  又 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，故 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示（且表示法唯一）。
（2）不能。
- 反证法。假设 $\boldsymbol{\alpha}_4=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+k_3\boldsymbol{\alpha}_3k_1(l_1\boldsymbol{\alpha}_2+l_3\boldsymbol{\alpha}_3)+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+k_3\boldsymbol{\alpha}_3=(k_1l_2+k_2)\boldsymbol{\alpha}_2+(k_1l_3+k_3)\boldsymbol{\alpha}_3$，则 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示，这与 $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关矛盾。
  
  故 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示。

$\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$

$\boldsymbol A\boldsymbol x=\boldsymbol b$

$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$

$k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s$

$k_1\boldsymbol{\eta}_1+k_2\boldsymbol{\eta}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\eta}_s$

$k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\xi}_s$

$\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_s$

$\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s$

$r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$

$r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\end{pmatrix}$

$r\begin{pmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\beta}_s\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_1\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_2\!\!&\!\!\cdots\!\!&\!\!\boldsymbol{\alpha}_n\end{pmatrix}$