第七章线性空间

2025-12-132025-12-13

知识点¶

第四章学习的是线性空间 $\mathbb P^n$，第七章将扩展到一般的线性空间 $V$。

线性空间¶

线性空间的定义

设 $\mathbb P$ 是一个数域（其中的元素用 $a,b,c,\cdots$ 等表示），$V$ 是一个非空集合（其中的元素用 $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma,\cdots$ 等表示），又定义了二元运算（并称其为加法。注意这是广义的加法） $V\times V\to V$（加法封闭）和数乘运算 $\mathbb P\times V\to V$（数乘封闭），如果所定义的运算满足：
- 加法交换律：$\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta=\boldsymbol\beta+\boldsymbol\alpha$，$\forall \boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V$
- 加法结合律：$(\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta)+\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\alpha+(\boldsymbol\beta+\boldsymbol\gamma)$，$\forall\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma\in V$
- 零向量：$\exist\boldsymbol\theta\in V$ 使得 $\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\theta=\boldsymbol\alpha$，$\forall \boldsymbol\alpha\in V$（称 $\boldsymbol\theta$ 为 $V$ 的零向量。注意是广义的“零”）
- 负向量：$\forall\boldsymbol\alpha\in V$，均 $\exists\boldsymbol\beta\in V$ 使得 $\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta=\boldsymbol\theta$（称 $\boldsymbol\beta$ 为 $\boldsymbol\alpha$ 为负向量，并记作 $-\boldsymbol\alpha$）
- 乘法单位元：$1\cdot \boldsymbol\alpha=\boldsymbol\alpha$，$\forall\boldsymbol\alpha\in V$
- 数乘结合律：$(kl)\boldsymbol\alpha=k(l\boldsymbol\alpha)$，$\forall\boldsymbol\alpha\in V$，$\forall k,l\in\mathbb P$
- 乘法分配律 1：$k(\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta)=k\boldsymbol\alpha+k\boldsymbol\beta$，$\forall\boldsymbol\alpha\in V$，$\forall k\in\mathbb P$
- 乘法分配律 2：$(k+l)\boldsymbol\alpha=k\boldsymbol\alpha+l\boldsymbol\alpha$，$\forall\boldsymbol\alpha\in V$，$\forall k,l\in\mathbb P$
则称 $V$ 关于所定义的加法与数乘运算构成数域 $\mathbb P$ 上的一个线性空间。

也称数域 $\mathbb P$ 上的线性空间 $V$ 为数域 $\mathbb P$ 上的线性空间，而称 $V$ 中的元素为向量。
例子
- 矩阵集合 $\mathbb P^{m\times n}=\{\boldsymbol A\mid \boldsymbol A=(a_{ij})_{m\times n},a_{ij}\in\mathbb P\}$ 关于矩阵的加法和数乘，可以构成数域 $\mathbb P$ 上的线性空间。
- 记 $\mathbb P^n=\mathbb P^{n\times 1}$，关于向量的加法和数乘，可以构成数域 $\mathbb P$ 上的线性空间。（即第四章的向量空间）
- 记 $\mathbb P[x]_n=\{a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0\mid a_i\in\mathbb P\}$ 为定义在数域 $\mathbb P$ 上 $x$ 的最高次幂小于 $n$ 的全体多项式，则 $\mathbb P[x]_n$ 关于多项式的加法和数乘可以构成数域 $\mathbb P$ 上的线性空间。
- 复数域 $\mathbb C$ 关于数的加法和乘法，可以构成实数域 $\mathbb R$ 上的线性空间。
  
  但是实数域 $\mathbb R$ 关于数的加法和乘法，不可以构成复数域 $\mathbb C$ 上的线性空间。
  
  实数域 $\mathbb R$ 关于数的加法和乘法，可以构成有理数域 $\mathbb Q$ 上的线性空间。
- 设 $\mathbb P$ 是一个数域，$V=\{\boldsymbol\alpha\}$ 为只有一个元素的集合，定义 $\boldsymbol\alpha\oplus\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\alpha$，$k\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\alpha\,(\forall k\in\mathbb P)$，则 $V$ 关于这两种运算构成数域 $\mathbb P$ 上的线性空间。这个空间只含有唯一的元素——零元素。通常，称之为零空间。
注意

判断是否是线性空间要注意指定数域 $\mathbb P$。
线性空间的性质
- 设 $V$ 是数域 $\mathbb P$ 上的一个线性空间，则：
  
  ① 零向量 $\boldsymbol\theta$ 唯一
  
  ② 每个向量的负向量唯一
  
  ③ $0\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\theta$
  
  ④ $k\boldsymbol\theta=\boldsymbol\theta$
  
  ⑤ $(-k)\boldsymbol\alpha=k(-\boldsymbol\alpha)=-(k\boldsymbol\alpha)$
  
  ⑥ 若 $k\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\theta$，则 $k=0$ 或 $\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\theta$
  证明
  - ① 设 $\boldsymbol\theta_1,\boldsymbol\theta_2$ 均为 $V$ 的零向量，在由零向量的定义及加法的交换律，可得 $\boldsymbol\theta_1+\boldsymbol\theta_2=\boldsymbol\theta_1$【$\boldsymbol\theta_2$ 是零向量】$=\boldsymbol\theta_2$【$\boldsymbol\theta_1$ 是零向量】，所以 $\boldsymbol\theta_1=\boldsymbol\theta_2$。
  - ② 设 $\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_2$ 均为 $\boldsymbol\alpha$ 的负向量，即 $\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta_1=\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta_2=\boldsymbol\theta$，则由加法结合律、零向量的定义、加法交换律，有 $\boldsymbol\beta_1=\boldsymbol\beta_1+\boldsymbol\theta=\boldsymbol\beta_1+(\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta_2)=(\boldsymbol\beta_1+\boldsymbol\alpha)+\boldsymbol\beta_2=\boldsymbol\theta+\boldsymbol\beta_2=\boldsymbol\beta_2$。
  - ③ $0\boldsymbol\alpha=0\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\theta=0\boldsymbol\alpha+[0\boldsymbol\alpha+(-0\boldsymbol\alpha)]=(0\boldsymbol\alpha+0\boldsymbol\alpha)+(-0\boldsymbol\alpha)=(0+0)\boldsymbol\alpha+(-0\boldsymbol\alpha)=0\boldsymbol\alpha+(-0\boldsymbol\alpha)=\boldsymbol\theta$
  - ④ $k\boldsymbol\theta=k(\boldsymbol\theta+\boldsymbol\theta)=k\boldsymbol\theta+k\boldsymbol\theta\Rightarrow k\boldsymbol\theta=\boldsymbol\theta$
  - ⑤ $k\boldsymbol\alpha+(-k)\boldsymbol\alpha=(k+(-k))\boldsymbol\alpha=0\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\theta$
    
    $k\boldsymbol\alpha+k(-\boldsymbol\alpha)=k(\boldsymbol\alpha+(-\boldsymbol\alpha))=k\boldsymbol\theta=\boldsymbol\theta$
    
    故 $(-k)\boldsymbol\alpha,k(-\boldsymbol\alpha)$ 均为 $k\boldsymbol\alpha$ 的负向量，由 ② 知 $(-k)\boldsymbol\alpha=k(-\boldsymbol\alpha)=-(k\boldsymbol\alpha)$。
  - ⑥ 若 $k\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\theta$，而 $k\neq 0$，则 $\boldsymbol\alpha=(\dfrac 1 k k)\boldsymbol\alpha=\dfrac 1 k(k\boldsymbol\alpha)=\dfrac 1 k\boldsymbol\theta=\boldsymbol\theta$。故 $k=0$ 或 $\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\theta$。

向量组的线性关系¶

设 $V$ 是数域 $\mathbb P$ 上的线性空间
- 设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $V$ 中的 $s$ 个向量，$k_1,k_2,\cdots,k_s$ 是数域 $\mathbb P$ 中任意 $s$ 个数，则称 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s$ 为向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 的一个线性组合。（这里的加法和数乘都是我们定义的广义运算。由于加法和数乘封闭，线性组合也在 $V$ 中）
  
  若对 $\boldsymbol\beta\in V$，存在数 $k_1,k_2,\cdots,k_s\in\mathbb P$ 使得 $\boldsymbol\beta=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s$，则称 $\boldsymbol\beta$ 可由向量组 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示。
  
  显然，零向量 $\boldsymbol\theta$ 可由任意向量组线性表示。
- 设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\in V$，如果存在一组数域 $\mathbb P$ 中不全为 $0$ 的数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ 使得 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s=\boldsymbol\theta$，则称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关。
  
  否则 $k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s=\boldsymbol\theta$ 成立 $\Leftrightarrow k_1=k_2=\cdots=k_2=0$，则称向量组线性无关。
  
  例题
  
  在线性空间 $\mathbb P[x]_4$ 中，判断 $f_1(x)=1+x$，$f_2(x)=x+x^2$，$f_3(x)=x^2+2x^3$，$f_4(x)=x-x^3$ 的线性相关性。
  
  解答
  
  设 $k_1f_1(x)+k_2f_2(x)+k_3f_3(x)+k_4f_4(x)=0\,(k_i\in\mathbb P)$，这里 $0$ 表示零多项式，则 $k_1+(k_1+k_2+k_3)x+(k_2+2k_3)x^2+(2k_3-k_4)x^3=0$。
  
  $\begin{cases}c_1 + c_2 + c_3 + 0c_4 = 0 \\0c_1 + c_2 + 2c_3 + 0c_4 = 0 \\0c_1 + 0c_2 + 2c_3 - c_4 = 0\end{cases}$
  
  $\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 2 & 0 \\0 & 0 & 2 & -1\end{vmatrix} = -1 \neq 0$
  
  所以这个线性方程组只有零解，则 $f_1(x),f_2(x),f_3(x),f_4(x)$ 线性无关。
- 线性表示与线性相关性的性质
  - 一个向量组中有部分向量线性相关 $\Rightarrow$ 该向量组必线性相关
  - 一个向量组线性无关 $\Rightarrow$ 它的任意一个部分组必线性相关
  - 含有零向量的向量组必线性相关
  - 单个向量 $\boldsymbol\alpha$，$\boldsymbol\alpha$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol\alpha=\boldsymbol\theta$，$\boldsymbol\alpha$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol\alpha\neq\boldsymbol\theta$
  - 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\,(s\geq 2)$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 中至少有一个向量可由其余的向量线性表示
    
    向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\,(s\geq 2)$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 中任意一个向量都不能由其余的向量线性表示
  - 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，而向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s,\boldsymbol\beta$ 线性相关，则 $\boldsymbol\beta$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示，且表示方式唯一。

向量组的线性表示及等价¶

向量组的线性表示

设数域 $P$ 上线性空间 $V$ 中有两个向量组 $(\text I)\,\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$，$(\text{II})\,\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t$，如果向量组 $(\text I)$ 中的每个向量都可由向量组 $(\text{II})$ 线性表示，则称向量组 $(\text I)$ 可由向量组 $(\text{II})$ 线性表示。

称 $(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)$ 为形式矩阵，$\boldsymbol\alpha_j=(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)\begin{pmatrix}m_{1j}\\m_{2j}\\\vdots\\m_{tj}\end{pmatrix}$ 和 $(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&\cdots&m_{1s}\\m_{21}&m_{22}&\cdots&m_{2s}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\m_{t1}&m_{t2}&\cdots&m_{ts}\end{pmatrix}$（其中 $m_{ij}\in\mathbb P$）为形式矩阵的乘法运算。

形式矩阵的乘法运算具有如下性质：
- 结合律：$(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)(\boldsymbol{AB})=((\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)\boldsymbol A)\boldsymbol B$
- 传递性：若 $(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)\boldsymbol C$，$(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)=(\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2,\cdots,\boldsymbol{\gamma}_r)\boldsymbol D$，则 $(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=(\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_2,\cdots,\boldsymbol{\gamma}_r)(\boldsymbol {DC})$
性质
- 设数域 $\mathbb P$ 上线性空间 $V$ 中有两个向量组 $(\text I)\,\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$，$(\text{II})\,\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t$，若向量组 $(\text I)$ 可由向量组 $(\text{II})$ 线性表示，且 $s>t$，则向量组 $(\text I)$ 必线性相关。
  
  证明
  
  考虑 $(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_s\end{pmatrix}=\boldsymbol\theta$
  
  即 $(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)\boldsymbol M_{t\times s}\boldsymbol K=\boldsymbol\theta$，其中 $\boldsymbol K=\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_s\end{pmatrix}$
  
  由于 $r(\boldsymbol M_{t\times s})\leq t<s$，故 $\boldsymbol M_{t\times s}\boldsymbol K=\boldsymbol\theta$ 有非零解 $\boldsymbol K$
  
  所以 $(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)\boldsymbol M_{t\times s}\boldsymbol K=\boldsymbol\theta$ 有非零解 $\boldsymbol K$，则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关。
- 设数域 $\mathbb P$ 上线性空间 $V$ 中有两个向量组 $(\text I)\,\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$，$(\text{II})\,\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t$，若向量组 $(\text I)$ 可由向量组 $(\text{II})$ 线性表示，且向量组 $(\text I)$ 线性无关，则 $s\leq t$。
向量组的等价

数域 $\mathbb P$ 上的线性空间 $V$ 中，如果两个向量组能互相线性表示，则称这两个向量组等价。

性质：向量组的等价具有自反性、对称性、传递性。

两个等价的、线性无关的且含有有限向量个数的向量组，所含向量个数相等。

极大线性无关组与向量组的秩¶

定义

设有向量组 $(\text I)\,\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$，它的一个部分组为 $(\text {II})\,\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_{i_2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_r}\,(r\leq s)$，若向量组 $(\text{II})$ 满足 ① 线性无关；② 原向量组 $(\text{I})$ 的任意向量 $\boldsymbol\alpha_k$，添加进向量组 $(\text{II})$ 后，所得的 $r+1$ 个向量 $\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_{i_2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{i_r},\boldsymbol\alpha_k$ 必线性相关（即，$\forall\boldsymbol\alpha_k\in(\text I)$，一定可以由向量组 $(\text{II})$ 线性表示），则称向量组 $(\text{II})$ 是原向量组 $(\text I)$ 的一个极大线性无关组。

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩。
性质
- 任意一个由有限个向量组成的向量组，必存在极大线性无关组，且向量组与它的极大线性无关组等价。
- 一个向量组的任意两个极大线性无关组必电脑管家，且所含向量的个数相等。
- 秩为 $r$ 的向量中，① 任意 $r+1$ 个向量必线性相关；② 任意 $r$ 个线性无关的向量都可作为该向量的一个极大线性无关组。
- 设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\,(s<+\infty)$ 为数域 $\mathbb P$ 上的线性空间 $V$ 中的 $s$ 个向量，则
  
  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关
  
  $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 本身就是 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 的一个极大线性无关组
  
  $\Leftrightarrow r(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=s$
- 数域 $\mathbb P$ 上线性空间 $V$ 中的任意一个有限秩的任意一个线性无关的部分组，一定可以扩充为该向量组的一个极大线性无关组。

维数基坐标¶

维数、基

设 $V$ 是数域 $\mathbb P$ 上的（非零）线性空间，当我们把 $V$ 中的全体向量看成一个向量组时，如果该向量组存在一个由有限个向量所构成的极大线性无关组，则称 $V$ 是有限维的，否则称 $V$ 是无限维的。

当 $V$ 是有限维时，称其任意一个极大线性无关组所含的向量的个数为线性空间的维数，记为 $\dim V$。当 $V=\{\boldsymbol\theta\}$ 时，记 $\dim V=0$；当 $V$ 为无限维时，记 $\dim V=+\infty$。

若 $\dim V=n\,(1\leq n<+\infty)$，$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 为 $V$ 的一个极大线性无关组，则称 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 的任意一种排列为 $V$ 的一个（或一组）基。

注意

极大线性无关组是无序的，基是有序的。
例子
- $\mathbb P^n$ 的常用基：$\boldsymbol e_1=(1,0,\cdots,0)^T$，$\boldsymbol e_2=(0,1,\cdots,0)^T$，$\cdots$，$\boldsymbol e_n=(0,0,\cdots,1)^T$。
- $\mathbb P^{m\times n}$ 的常用基：$\boldsymbol e_{ij}\,(i=1,2,\cdots,m,j=1,2,\cdots,n)$。其中 $\boldsymbol e_{ij}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列交叉位置的元素为 $1$、其余元素为 $0$ 的矩阵，称为矩阵单位。
- $\mathbb P[x]_n$ 的常用基：$1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}$。
坐标及作用
- 定义：
  
  设 $V$ 是数域 $\mathbb P$ 上的 $n$ 维线性空间，记 $\dim V=n$，又设 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 为 $V$ 的一组基，则 $\forall \boldsymbol\alpha\in V$，$\boldsymbol\alpha$ 可由基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 唯一线性表示。
  
  设 $\boldsymbol\alpha=x_1\boldsymbol\xi_1+x_2\boldsymbol\xi_2+\cdots+x_n\boldsymbol\xi_n=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\boldsymbol X$，其中 $\boldsymbol X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb P^n$，称为 $\boldsymbol\alpha$ 在基 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 下的坐标。
- 作用：
  
  设 $V$ 是数域 $\mathbb P$ 上的 $n$ 维空间，$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 为 $V$ 的一组基，则对于 $V$ 中任意一个向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$，设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 在基下的坐标分别为 $\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_s$，则 $(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)(\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_s)=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\boldsymbol A_{n\times s}$。
  
  则
  
  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_s$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $r(\boldsymbol A_{n\times s})<s$
  
  推论：
  - $n$ 维线性空间 $V$ 中，任意 $n+1$ 个向量必线性相关。
  - 设 $\dim V=n$，$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 为 $V$ 的一组基，设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 为 $V$ 中 $n$ 个向量，设 $\boldsymbol{\alpha}_i=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\boldsymbol X_i\,(i=1,2,\cdots,n)$，记 $\boldsymbol A_{n\times n}=(\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_n)$，则
    
    $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $|\boldsymbol A_{n\times n}|=0$
    
    $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ $|\boldsymbol A_{n\times n}|\neq 0$
    
    $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_s$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ $r(\boldsymbol A_{n\times s})=s$
  - 设 $\dim V=n$，则 $V$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量，都是 $V$ 的一组基。
  - 设 $\dim V=n$，$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 为 $V$ 的一组基，向量 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\in V$，在所给基下坐标分别为 $\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_s$，向量 $\boldsymbol\beta\in V$ 在所给基下的坐标为 $\boldsymbol Y$，则
    
    ① $\boldsymbol\beta=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)\boldsymbol X_0\Leftrightarrow (\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_s)\boldsymbol X_0=\boldsymbol Y$
    
    ② $\boldsymbol\beta$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示 $\Leftrightarrow$ $(\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_s)\boldsymbol X=\boldsymbol Y$ 有解 $\Leftrightarrow$ $\boldsymbol Y$ 可由 $\boldsymbol X_1,\boldsymbol X_2,\cdots,\boldsymbol X_s$ 线性表示
    
    例题
    
    求 $a=?$，使得 $\mathbb P^{2×2}$ 中的向量组线性无关：$\boldsymbol A_1=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol A_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & a \end{pmatrix}$，$\boldsymbol A_3=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，$\boldsymbol A_4=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2-a \end{pmatrix}$。
    
    解答
    
    取 $\mathbb P^{2×2}$ 中常用基：$\boldsymbol e_{11},\boldsymbol e_{12},\boldsymbol e_{21},\boldsymbol e_{22}$
    
    $(\boldsymbol A_1,\boldsymbol A_2,\boldsymbol A_3,\boldsymbol A_4) = (\boldsymbol e_{11},\boldsymbol e_{12},\boldsymbol e_{21},\boldsymbol e_{22}) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 2 & 2-a \end{pmatrix} = (\boldsymbol e_{11},\boldsymbol e_{12},\boldsymbol e_{21},\boldsymbol e_{22})\boldsymbol A$
    
    $\boldsymbol A \xrightarrow{r} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ & 1 & 2 & -3 \\ & & 1 & -2 \\ & & & 6-2a \end{pmatrix}$
    
    所以，当 $a\neq 3$ 时，$r(\boldsymbol A)=4 $，此时 $\boldsymbol A_1,\boldsymbol A_2,\boldsymbol A_3,\boldsymbol A_4$ 线性无关。

基之间的过渡矩阵坐标变换¶

过渡矩阵

设 $\dim V=n$，$V$ 的两组基 $(\text I)\,\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$，$(\text{II})\,\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n$，是 $\boldsymbol{\eta}_i=m_{1i}\boldsymbol{\xi}_1+m_{2i}\boldsymbol{\xi}_2+\cdots+m_{ni}\boldsymbol{\xi}_n=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\begin{pmatrix}m_{1i}\\m_{2i}\\\vdots\\m_{ni}\end{pmatrix}\,(i=1,2,\cdots,n)$，则 $(\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n)=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&\cdots&m_{1n}\\m_{21}&m_{22}&\cdots&m_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\m_{n1}&m_{n2}&\cdots&m_{nn}\end{pmatrix}=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\boldsymbol M$，则称矩阵 $\boldsymbol M$ 为从基 $(\text I)$ 到基 $(\text{II})$ 的过渡矩阵。

（实际上就是基 $(\text{II})$ 每个向量在基 $(\text I)$ 下的坐标拼起来）
坐标变换公式

设 $\boldsymbol\alpha\in V$，$\boldsymbol\alpha$ 在基 $(\text I)$ 下的坐标为 $\boldsymbol X$，$\boldsymbol\alpha$ 在基 $(\text{II})$ 下的坐标为 $\boldsymbol Y$，记 $\boldsymbol\alpha=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\boldsymbol X=(\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n)\boldsymbol Y$，则如果 $(\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n)=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\boldsymbol M$，则 $\boldsymbol X=\boldsymbol M\boldsymbol Y$ 或 $\boldsymbol Y=\boldsymbol M^{-1}\boldsymbol X$。
例题

在 $\mathbb P^3$ 中有两组基：$(\text I)\,\boldsymbol\xi_1 =(1,2,1)^T, \boldsymbol\xi_2 = (2,3,3)^T, \boldsymbol\xi_3 =(3,7,1)^T$，$(\text{II})\,\boldsymbol\xi_1^* = (9,24,-1)^T, \boldsymbol\xi_2^* = (8,22,-2)^T, \boldsymbol\xi_3^* = (12,28,4)^T$。

求：（1）从基 $(\text I)$ 到基 $(\text{II})$ 的过渡矩阵；（2）若 $\boldsymbol\alpha$ 在基 $(\text I)$ 下的坐标为 $\boldsymbol X =(0,1,-1)^T$，求 $\boldsymbol\alpha$ 在基 $(\text{II})$ 下的坐标 $\boldsymbol Y$。
解答

设 $\boldsymbol M$ 是从基 $(\text I)$ 到基 $(\text{II})$ 的过渡矩阵，记 $\boldsymbol A = (\boldsymbol\xi_1, \boldsymbol\xi_2, \boldsymbol\xi_3), B = (\boldsymbol\xi_1^*, \boldsymbol\xi_2^*, \boldsymbol\xi_3^*)$，则有 $\boldsymbol B = \boldsymbol A\boldsymbol M$。
- （1）
  
  由 $\boldsymbol B = \boldsymbol A\boldsymbol M$，得 $\boldsymbol M = \boldsymbol A^{-1}\boldsymbol B$。
  
  $\left(\begin{array}{c:c}\boldsymbol A & \boldsymbol B \\\end{array}\right)= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \vdots & 9 & 8 & 12 \\2 & 3 & 7 & \vdots & 24 & 22 & 28 \\1 & 3 & 1 & \vdots & -1 & -2 & 4\end{pmatrix}\xrightarrow{r}\begin{pmatrix}1 & & & \vdots & 1 & 0 & 0 \\& 1 & & \vdots & -2 & -2 & 0 \\& & 1 & \vdots & 4 & 4 & 4\end{pmatrix}$
  
  $\Rightarrow\boldsymbol M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}$
- （2）
  
  由 $\boldsymbol\alpha = \boldsymbol B\boldsymbol Y =\boldsymbol A\boldsymbol X$，得 $\boldsymbol Y = \boldsymbol M^{-1}\boldsymbol X$。
  
  $\left(\begin{array}{c:c}\boldsymbol M & \boldsymbol X \\\end{array}\right)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \vdots & 0 \\-2 & -2 & 0 & \vdots & 1 \\4 & 4 & 4 & \vdots & -1\end{pmatrix}\xrightarrow{r}\begin{pmatrix}1 & & & \vdots & 0 \\& 1 & & \vdots & -\frac{1}{2} \\& & 1 & \vdots & \frac{1}{4}\end{pmatrix}$
  
  $\Rightarrow \boldsymbol Y =(0, -\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4})^T$
在 $\mathbb P^{2\times 2}$ 中有两组基 $(\text I)\,\boldsymbol E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\boldsymbol E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\boldsymbol E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\boldsymbol E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，$(\text{II})\,\boldsymbol E_{11}^*=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\boldsymbol E_{12}^*=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\boldsymbol E_{21}^*=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\boldsymbol E_{22}^*=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$

求：（1）从基 $(\text I)$ 到基 $(\text{II})$ 的过渡矩阵；（2）设 $\boldsymbol A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求 $\boldsymbol A$ 在两组基下的坐标。
解答
- （1）
  
  设 $(\boldsymbol E_{11}^*,\boldsymbol E_{21}^*,\boldsymbol E_{21}^*,\boldsymbol E_{22}^*)=(\boldsymbol E_{11},\boldsymbol E_{12},\boldsymbol E_{21},\boldsymbol E_{22})\boldsymbol M$。
  
  因为
  
  $E_{11}^*=(\boldsymbol E_{11},\boldsymbol E_{12},\boldsymbol E_{21},\boldsymbol E_{22})(1,1,1,1)^T$
  
  $E_{12}^*=(\boldsymbol E_{11},\boldsymbol E_{12},\boldsymbol E_{21},\boldsymbol E_{22})(1,1,1,0)^T$
  
  $E_{21}^*=(\boldsymbol E_{11},\boldsymbol E_{12},\boldsymbol E_{21},\boldsymbol E_{22})(1,1,0,0)^T$
  
  $E_{22}^*=(\boldsymbol E_{11},\boldsymbol E_{12},\boldsymbol E_{21},\boldsymbol E_{22})(1,0,0,0)^T$
  
  $\boldsymbol M=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$
- （2）
  
  设 $\boldsymbol A=(\boldsymbol E_{11},\boldsymbol E_{12},\boldsymbol E_{21},\boldsymbol E_{22})\boldsymbol X=(\boldsymbol E_{11}^*,\boldsymbol E_{21}^*,\boldsymbol E_{21}^*,\boldsymbol E_{22}^*)\boldsymbol Y$，则 $\boldsymbol X=(1,2,3,4)^T$，$\boldsymbol Y=\boldsymbol M^{-1}\boldsymbol X$
  
  $\left(\begin{array}{c:c}\boldsymbol M & \boldsymbol X \\\end{array}\right)\xrightarrow{r}\left(\begin{array}{c:c}\boldsymbol E & \boldsymbol Y \\\end{array}\right)$
  
  $\Rightarrow \boldsymbol Y=(4,-1,-1,-1)^T$

子空间¶

定义：设 $V$ 是数域 $\mathbb P$ 上的线性空间，$W$ 是 $V$ 的一个非空子集，若 $W$ 关于 $V$ 的加法和数乘运算也构成数域 $\mathbb P$ 上的一个线性空间，则称 $W$ 是 $V$ 的一个子空间。

显然，$\{\boldsymbol\theta\}$ 及 $V$ 是 $V$ 的两个子空间，称为 $V$ 的平凡子空间。
显然，$W$ 要成为 $V$ 的一个子空间必须满足：① $W$ 是 $V$ 的非空子集；② 加法封闭，$\forall\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in W$，$\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta\in W$；③ 数乘封闭，$\forall \boldsymbol\alpha\in W,\forall k\in\mathbb P$，$k\boldsymbol\alpha\in W$；④ 满足 8 条运算规律。发现满足 ①②③ 就天然满足 ④ 了（由数乘封闭，$0\boldsymbol\alpha$ 和 $(-1)\boldsymbol\alpha$ 都在 $W$ 中，所以有零向量和负向量。其余运算规律显然），所以有：

设 $V$ 是数域 $\mathbb P$ 上的线性空间，$W$ 为 $V$ 的非空子集，则 $W$ 是 $V$ 的子空间 $\Leftrightarrow$ $W$ 关于 $V$ 的加法与数乘运算封闭）。
例子
- $W_1=\{\boldsymbol A\in\mathbb P^{n\times n}\mid \boldsymbol A=\boldsymbol A^T\}$（对称矩阵的集合）是 $\mathbb P^{\times n}$ 的子空间。
  
  $W_2=\{\boldsymbol A\in\mathbb P^{n\times n}\mid \boldsymbol A=\boldsymbol -A^T\}$（反对称矩阵的集合）是 $\mathbb P^{\times n}$ 的子空间。
- 设 $\boldsymbol A\in\mathbb P^{m\times n}$，$\boldsymbol\beta\in\mathbb P^n$，$r(\boldsymbol A)=r(\boldsymbol{\overline A})=r<n$，则：
  
  $W_1=\{\boldsymbol X\in\mathbb P^n\mid \boldsymbol A\boldsymbol X=\boldsymbol 0\}$ 是 $\mathbb P^n$ 的子空间（称为 $\boldsymbol A\boldsymbol X=\boldsymbol 0$ 的解空间）。
  
  但 $W_1=\{\boldsymbol X\in\mathbb P^n\mid \boldsymbol A\boldsymbol X=\boldsymbol \beta\}$ 不是 $\mathbb P^n$ 的子空间。
- 设 $V$ 是数域 $\mathbb P$ 上的线性空间，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\in V$，则 $L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=\{k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s\mid k_i\in\mathbb P\}$ 是 $V$ 的子空间。
  
  称 $L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)$ 为由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ 生成的子空间。
  
  特别地，设 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n$ 是 $V$ 的一组基，则 $V=L(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)$，即线性空间 $V$ 可看成由一组基所生成的。
设线性空间 $V$ 中两个向量组 $(\text I)\,\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$，$(\text{II})\,\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t$，则有：

① $L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=L(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_t)\Leftrightarrow (\text I)$ 与 $(\text{II})$ 等价

② $\dim L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)=r(\text I)$，且 $(\text I)$ 的任意一个极大线性无关组都是子空间 $L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s)$ 的一组基

例题

设 $W=\{\boldsymbol A\in\mathbb P^{3\times 3}\mid \boldsymbol A=-\boldsymbol A^T\}$，求 $W$ 的一组基和维数。

解答

取 $\mathbb P^{3\times 3}$ 的常用基 $\boldsymbol e_{11},\boldsymbol e_{12},\boldsymbol e_{13},\boldsymbol e_{21},\boldsymbol e_{23},\boldsymbol e_{31},\boldsymbol e_{32},\boldsymbol e_{33}$。

错解

令 $\boldsymbol\eta_1=\boldsymbol e_{12}$，$\boldsymbol\eta_2=\boldsymbol e_{13}$，$\boldsymbol\eta_3=\boldsymbol e_{21}$，$\boldsymbol\eta_4=\boldsymbol e_{23}$，$\boldsymbol\eta_5=\boldsymbol e_{31}$，$\boldsymbol\eta_6=\boldsymbol e_{32}$，则 ① $\boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2,\boldsymbol\eta_3,\boldsymbol\eta_4,\boldsymbol\eta_5,\boldsymbol\eta_6$ 线性无关；② $\forall\boldsymbol A\in W$，$\boldsymbol A$ 可由 $\boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2,\boldsymbol\eta_3,\boldsymbol\eta_4,\boldsymbol\eta_5,\boldsymbol\eta_6$ 线性表示。

故 $\boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2,\boldsymbol\eta_3,\boldsymbol\eta_4,\boldsymbol\eta_5,\boldsymbol\eta_6$ 为 $W$ 的一组基，则 $\dim W=6$。

错因

$\boldsymbol\eta_i\notin W$

正解

令 $\boldsymbol \xi_1=\boldsymbol e_{12}-\boldsymbol e_{21}=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol \xi_2=\boldsymbol e_{13}-\boldsymbol e_{31}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol \xi_3=\boldsymbol e_{23}-\boldsymbol e_{32}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}$，则 ① $\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\boldsymbol\xi_3\in W$ 且线性无关；② $\forall\boldsymbol A\in W$，$\boldsymbol A$ 可由 $\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\boldsymbol\xi_3$。

故 $\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\boldsymbol\xi_3$ 为 $W$ 的一组基，则 $\dim W=3$。

第七章 线性空间

知识点¶

线性空间¶

向量组的线性关系¶

向量组的线性表示及等价¶

极大线性无关组与向量组的秩¶

维数 基 坐标¶

基之间的过渡矩阵 坐标变换¶

子空间¶

第七章线性空间

维数基坐标¶

基之间的过渡矩阵坐标变换¶