第八章 欧式空间

2025-12-132025-12-13

知识点

内积、欧式空间的定义

• 内积：设 \(V\) 是 \(\mathbb R\) 上的一个线性空间。若 \(\varphi\) 是 \(V\times V\) 到 \(\mathbb R\) 中的一个对应规则，记 \((\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta)\xlongequal{\text{def}}\varphi(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)\,(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V)\)，使得 \(\forall\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V\)，存在唯一确定实数 \(\varphi(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)\) 与之对应。同时该规则满足：

  1. 对称性：\((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha)\)
  2. 正定性：\((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)\geq 0\)，且 \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)=0\Leftrightarrow \boldsymbol\alpha=\boldsymbol\theta\)
  3. 双线性：\((k\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=k(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=(\boldsymbol\alpha,k\boldsymbol\beta)\)；\((\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma)=(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\gamma)+(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\gamma)\)

  则称该规则为内积。

  有了内积的实的线性空间称为欧几里得空间，简称欧式空间。

  内积还有如下性质：

  • 设 \(V\) 是欧式空间，则 \(\forall\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha_i,\boldsymbol\beta_j\in V\)，\(\forall k_i,t_j\in \mathbb R\)

    • \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\theta)=0\)
    • \((\sum_{i=1}^mk_i\boldsymbol\alpha_i,\sum_{j=1}^n t_j\boldsymbol\beta_j)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n k_it_j(\boldsymbol\alpha_i,\boldsymbol\beta_j)\xlongequal{a_{ij}=(\boldsymbol\alpha_i,\boldsymbol\beta_j)}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}k_it_j=(k_1,k_2,\cdots,k_m)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t_1\\t_2\\\vdots\\t_n\end{pmatrix}\)

• 欧式空间：称实数域 \(\mathbb R\) 上定义了内积的线性空间为欧式空间，或实数域上的内积空间。

  在实数域 \(\mathbb R\) 的同一个线性空间上，可以定义多个内积而使得该线性空间关于不同的内积形成不同的欧式空间。

• 当 \(\mathbb R^n\) 的基取其常用基（即 \(\boldsymbol\varepsilon_i=\boldsymbol e_i\)）时，我们称 \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=\boldsymbol\alpha^T\boldsymbol\beta\) 所定义的内积为 \(\mathbb R^n\) 的常用内积（标准内积）。如果没有特别指明，我们所说的欧式空间 \(\mathbb R^n\) 是指线性空间 \(\mathbb R^n\) 关于常用内积所形成的欧式空间。

• 任意一个实数域上的有限维线性空间都可以定义适当的内积成为欧式空间。

  证明

  设 \(\dim V=n\)，\(\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\cdots,\boldsymbol\xi_n\) 为 \(V\) 的一组基。

  \(\forall\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V\)，

  \(\boldsymbol\alpha=x_1\boldsymbol\xi_1+x_2\boldsymbol\xi_2+\cdots+x_n\boldsymbol\xi_n=(\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\cdots,\boldsymbol\xi_n)\boldsymbol X\)，\(\boldsymbol X\in\mathbb R^n\)

  \(\boldsymbol\beta=y_1\boldsymbol\xi_1+y_2\boldsymbol\xi_2+\cdots+y_n\boldsymbol\xi_n=(\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\cdots,\boldsymbol\xi_n)\boldsymbol Y\)，\(\boldsymbol Y\in\mathbb R^n\)

  定义 \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=(\boldsymbol X,\boldsymbol Y)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=\boldsymbol X^T\boldsymbol Y\)，可以证明 \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)\) 符合内积定义，故 \(V\) 可以构成欧式空间。

度量矩阵

• 度量矩阵的定义：

  设 \(\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2,\cdots,\boldsymbol\varepsilon_n\) 是具有内积 \((\cdot,\cdot)\) 的 \(n\) 维欧式空间 \(V\) 的一个基。称 \(\boldsymbol A=[(\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_j)]_{n\times n}\) 为内积在基 \(\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2,\cdots,\boldsymbol\varepsilon_n\) 下的度量矩阵。

  \(\forall \boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V\)，若它们在基 \(\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2,\cdots,\boldsymbol\varepsilon_n\) 下的坐标分别为 \(\boldsymbol X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},\boldsymbol Y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\)，则 \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=(\sum_{i=1}^n x_i\boldsymbol\varepsilon_i,\sum_{j=1}^n y_j\boldsymbol\varepsilon_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_iy_j(\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_j)=\boldsymbol X^T\boldsymbol A\boldsymbol Y\)，于是，任意两个向量的内积可以经某个基以及向量在基下的坐标来刻画。

• 性质：对度量矩阵 \(\boldsymbol A\)，\(\boldsymbol A=\boldsymbol A^T\)，\(a_{ii}=(\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol \varepsilon_i)=\|\boldsymbol \varepsilon_i\|^2>0\)

• 同一个内积下，不同基的度量矩阵的联系：

  设 \(n\) 维欧式空间 \(V\) 中有两组基 \(\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\cdots,\boldsymbol\xi_n\)，\(\boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2,\cdots,\boldsymbol\eta_n\)，\((\boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2,\cdots,\boldsymbol\eta_n)=(\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\cdots,\boldsymbol\xi_n)\boldsymbol M\)，记 \(\boldsymbol A=[(\boldsymbol\xi_i,\boldsymbol\xi_j)]_{n\times n}\)，\(\boldsymbol B=[(\boldsymbol\eta_i,\boldsymbol\eta_j)]_{n\times n}\)，则 \(\boldsymbol B=\boldsymbol M^T\boldsymbol A\boldsymbol M\)。

  证明

  设 \(\boldsymbol\alpha\in V\)，\((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)=\boldsymbol X^T\boldsymbol A\boldsymbol X=(\boldsymbol M\boldsymbol Y)^T\boldsymbol A(\boldsymbol M\boldsymbol Y)=\boldsymbol Y^T(\boldsymbol M^T\boldsymbol A\boldsymbol M)\boldsymbol Y\)，\((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)=\boldsymbol Y^T\boldsymbol B\boldsymbol Y\)，又 \(\boldsymbol M^T\boldsymbol A\boldsymbol M,\boldsymbol B\) 都是对称矩阵，则 \(\boldsymbol B=\boldsymbol M^T\boldsymbol A\boldsymbol M\)【理由在第六章】。

向量的长度

• 由内积的正定性，\((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)\geq 0\)，故 \(\sqrt{(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)}\) 是有意义的。

  向量的长度：设 \((\cdot,\cdot)\) 是欧式空间 \(V\) 的内积，\(\boldsymbol\alpha\in V\)，称 \(\|\boldsymbol\alpha\|=\sqrt{(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)}\) 为 \(\boldsymbol\alpha\) 的长度。

• 性质：

  • \(\|\boldsymbol\alpha\|=0\Leftrightarrow \boldsymbol\alpha=\boldsymbol 0\)，\(\|\boldsymbol\alpha\|>0\Leftrightarrow \boldsymbol\alpha\neq \boldsymbol 0\)
  • \(\|k\boldsymbol\alpha\|=\sqrt{(k\boldsymbol\alpha,k\boldsymbol\alpha)}=|k|\cdot \|\boldsymbol\alpha\|\)

  • 如果 \(\|\boldsymbol\alpha\|=1\)，称 \(\boldsymbol\alpha\) 为单位向量（标准向量）

    如果 \(\boldsymbol\alpha\neq \boldsymbol 0\)，称运算 \(\dfrac{\boldsymbol\alpha}{\|\boldsymbol\alpha\|}\) 为把向量 \(\boldsymbol\alpha\) 单位化（标准化）

  • Cauchy-Schwarz 不等式：设 \(V\) 是定义了内积 \((\cdot,\cdot)\) 的欧式空间，则 \(\forall \boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V\)，\(|(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)|\leq \|\boldsymbol\alpha\|\|\boldsymbol\beta\|\)。当且仅当 \(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 线性相关时取等。

    证明

    • 先证 \(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 线性相关 \(\Rightarrow |(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)|= \|\boldsymbol\alpha\|\|\boldsymbol\beta\|\)。

      设 \(\boldsymbol\alpha=k\boldsymbol\beta\)，则 \(|(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)|=|(k\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta)|=|k|(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta)=|k|\|\boldsymbol\beta\|^2=\|k\boldsymbol\beta\|\cdot \|\boldsymbol\beta\|=\|\boldsymbol\alpha\|\cdot\|\boldsymbol\beta\|\)

    • 再证 \(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 线性无关 \(\Rightarrow |(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)|< \|\boldsymbol\alpha\|\|\boldsymbol\beta\|\)。

      由于 \(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 线性无关，则 \(\forall k\in\mathbb R\)，有 \(\boldsymbol\alpha+k\boldsymbol\beta\neq \boldsymbol 0\)。根据正定性，有 \((\boldsymbol\alpha+k\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha+k\boldsymbol\beta)>0\)，则 \(\|\boldsymbol\alpha\|^2+2k(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)+k^2\|\boldsymbol\beta\|^2>0\)。

      看作关于 \(k\) 的二次函数与 \(x\) 轴没有交点，有 \(\Delta=4k^2(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)^2-4\|\boldsymbol\alpha\|^2\|\boldsymbol\beta\|^2<0\)，则 \(|(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)|<\|\boldsymbol\alpha\|\|\boldsymbol\beta\|\)。

    • 再证 \(|(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)|=\|\boldsymbol\alpha\|\cdot\|\boldsymbol\beta\|\Rightarrow \boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 线性相关。

      反设 \(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 线性无关，根据上一条，有 \(|(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)|<\|\boldsymbol\alpha\|\cdot\|\boldsymbol\beta\|\)，矛盾。

向量的夹角

• 因为 \(|(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)|\leq \|\boldsymbol\alpha\|\cdot\|\boldsymbol\beta\|\)，所以当 \(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 均非零时，有 \(-1\leq\dfrac{(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)}{\|\boldsymbol\alpha\|\cdot \|\boldsymbol\beta\|}\leq 1\)。

  向量的夹角：设 \((\cdot,\cdot)\) 是欧式空间 \(V\) 上的内积，\(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 为 \(V\) 中的两个非零向量，则称 \(\langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle=\arccos\dfrac{(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)}{|\boldsymbol\alpha||\boldsymbol\beta|}\) 为向量 \(\boldsymbol\alpha\) 与 \(\boldsymbol\beta\) 的夹角。

  显然 \(0\leq \langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle\leq \pi\)。

• 正交：

  若 \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=0\)，称 \(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\) 正交，记作 \(\boldsymbol\alpha\perp\boldsymbol\beta\)。即 \(\boldsymbol\alpha\perp\boldsymbol\beta\Leftrightarrow \langle\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\rangle=\dfrac{\pi}2\)。

  显然零向量与任意向量正交。

  \(\mathbb R^n\) 的常用基 \(\boldsymbol e_i\) 为两两正交且长度为 \(1\) 的向量组。

  \(\mathbb R^{m\times n}\) 的常用基 \(\boldsymbol e_{ij}\) 也为两两正交且长度为 \(1\) 的向量组。

• 性质：

  • 三角不等式：\(\forall \boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V\)，\(\|\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta\|\leq \|\boldsymbol\alpha\|+\|\boldsymbol\beta\|\)

    证明

    \(\|\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta\|^2=(\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta)=(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\alpha)+2(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)+(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta)\leq \|\boldsymbol\alpha\|^2+2\|\boldsymbol\alpha\|\|\boldsymbol\beta\|+\|\boldsymbol\beta\|^2=(\|\boldsymbol\alpha\|+\|\boldsymbol\beta\|)^2\)

  • 勾股定理： \(\boldsymbol\alpha\perp\boldsymbol\beta\Leftrightarrow\|\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta\|^2=\|\boldsymbol\alpha\|^2+\|\boldsymbol\beta\|^2\)

（标准）正交向量组、（标准）正交基

• （标准）正交向量组的定义

  欧式空间中一组非零的、两两正交的向量组称为一个正交向量组。

  规定：单个非零向量也称为正交向量。

  如果正交向量组中的每个向量都是单位向量，称该正交向量组为标准（单位）正交向量组。

  \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 为欧式空间 \(V\) 的标准正交向量组 \(\Leftrightarrow\) \((\boldsymbol\alpha_i,\boldsymbol\alpha_j)=\begin{cases}1,&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}\,(i,j=1,2,\cdots,s)\)

• 性质：一个正交向量组必线性无关。反过来，一个线性无关的向量组不一定是正交向量组。

  证明

  设 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 为一个正交向量组。

  设 \(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s=\boldsymbol 0\)。\(\forall i\)：

  \(\begin{aligned}0&=(\boldsymbol{\alpha}_i,\boldsymbol 0)=(\boldsymbol{\alpha}_i,k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_s\boldsymbol{\alpha}_s)\\&=(\boldsymbol{\alpha}_i,k_1\boldsymbol{\alpha}_1)+\cdots+(\boldsymbol{\alpha}_i,k_i\boldsymbol{\alpha}_i)+\cdots+(\boldsymbol{\alpha}_i,k_s\boldsymbol{\alpha}_s)=k_i\|\boldsymbol{\alpha}_i\|^2\end{aligned}\)

  由于 \(\|\boldsymbol{\alpha}_i\|\neq 0\)，故 \(k_i=0\)。

  故 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\) 线性无关。

  反过来，对 \(\boldsymbol\alpha_1=(1,0)^T\)，\(\boldsymbol\alpha_2=(1,1)^T\)，显然 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2\) 线性无关，但 \((\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2)=1\neq 0\)，所以 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2\) 不正交。

  推论：\(n\) 维欧式空间中，任意一个正交向量组中向量的个数不超过 \(n\)。

• （标准）正交基的定义

  若欧式空间 \(V\) 中的一组基中的向量两两正交，则称该基为欧式空间 \(V\) 的一组正交基。

  由于正交向量组一定线性无关，设 \(\dim V=n\)，则 \(V\) 中由 \(n\) 个两两正交的向量所组成的向量组，为 \(V\) 的一组正交基。

  如果正交基中的每一个向量都是单位向量，称该正交基为标准（单位）正交基。

  \(\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2\cdots,\boldsymbol\xi_n\) 为 \(n\) 维欧式空间 \(V\) 的标准正交基 \(\Leftrightarrow\) \((\boldsymbol\xi_i,\boldsymbol\xi_j)=\begin{cases}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}\,(i,j=1,2,\cdots,n)\)，即欧式空间 \(V\) 的一组基为标准正交基 \(\Leftrightarrow\) 它度量矩阵为单位矩阵。

  \(\mathbb R^n\)，\(\mathbb R^{m\times n}\) 的常用基都是标准正交基。

• 标准正交基的作用：设 \(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n\) 为 \(n\) 维欧式空间 \(V\) 的一组标准正交基，\(\forall \boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V\)，设 \(\boldsymbol\alpha=(\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\cdots,\boldsymbol\xi_n)\boldsymbol X\)，\(\boldsymbol\beta=(\boldsymbol\xi_1,\boldsymbol\xi_2,\cdots,\boldsymbol\xi_n)\boldsymbol Y\)，其中 \(\boldsymbol X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\)，\(\boldsymbol Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T\)，则：

  ① \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=(\boldsymbol X,\boldsymbol Y)=\boldsymbol X^T\boldsymbol Y=\boldsymbol Y^T\boldsymbol X=\sum_{i=1}^n x_iy_i\)

  ② \(\|\boldsymbol\alpha\|=\|\boldsymbol X\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\)

  ③ \(x_i=(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\xi_i)\)，\(i=1,2,\cdots,n\)

  证明

  ① \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta)=\boldsymbol X^T\boldsymbol A\boldsymbol Y=\boldsymbol X^T\boldsymbol Y\)【\(\boldsymbol A=[(\boldsymbol \xi_i,\boldsymbol \xi_j)]_{n\times n}=\boldsymbol E\)】\(=(\boldsymbol X,\boldsymbol Y)\)

  ② \(\|\boldsymbol\alpha\|^2=\boldsymbol X^T\boldsymbol X=(\boldsymbol X,\boldsymbol X)=\|\boldsymbol X\|^2=\sum_{i=1}^n x_i^2\)

  ③ \((\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\xi_i)=(\sum_{j=1}^nx_j\boldsymbol\xi_j,\boldsymbol\xi_i)=x_i(\xi_i,\boldsymbol\xi_i)=x_i\)

正交矩阵

• 定义

  设 \(\boldsymbol U\in\mathbb R^{n\times n}\)，若 \(\boldsymbol U\boldsymbol U^T=\boldsymbol E\)（或 \(\boldsymbol U^T\boldsymbol U=\boldsymbol E\)），即 \(\boldsymbol U\) 可逆且逆矩阵为 \(\boldsymbol U^T\)，则称 \(\boldsymbol U\) 为 \(n\) 阶正交矩阵。

• 性质

  • \(\boldsymbol U=(\boldsymbol \eta_1,\boldsymbol \eta_2,\cdots,\boldsymbol \eta_n)\) 为正交矩阵

    \(\Leftrightarrow\) \(\boldsymbol U^T=\boldsymbol U^{-1}\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\boldsymbol \eta_1,\boldsymbol \eta_2,\cdots,\boldsymbol \eta_n\) 为 \(\mathbb R^n\) 的标准正交基

    \(\Leftrightarrow (\boldsymbol \eta_i,\boldsymbol \eta_j)=\begin{cases}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}\,(i,j=1,2,\cdots,n)\)

  • \(\boldsymbol U\) 为正交矩阵 \(\Rightarrow\) \(|\boldsymbol U|=\pm 1\)，\(\boldsymbol U\) 可逆（必要条件）

  • 设 \(V\) 为 \(n\) 维欧式空间，\(V\) 有两组基 \((\text I)\,\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n\)，\((\text{II})\,\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n\)，设 \((\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n)=(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n)\boldsymbol M\)，则有：

    ① 若基 \((\text I),(\text{II})\) 都是 \(V\) 的标准正交基 \(\Rightarrow\) 过渡矩阵 \(\boldsymbol M\) 一定是正交矩阵

    ② 若基 \((\text I)\) 是 \(V\) 的标准正交基，且 \(\boldsymbol M\) 是正交矩阵 \(\Rightarrow\) \((\text{II})\) 也是 \(V\) 的标准正交基

    ③ \(\boldsymbol U\) 是正交矩阵 \(\Leftrightarrow\) \(\boldsymbol U\) 是 \(V\) 的某两组标准正交基之间的过渡矩阵

Schmidt 正交化法

• 设 \(\dim V=n\)，则 \(V\) 的任意一个正交向量组 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m\,(m<n)\) 都可以扩充成 \(V\) 的标准正交基。

  证明

  因为 \(m<n\)，所以 \(\exists\boldsymbol\beta\in V\) 但 \(\boldsymbol\beta\notin L(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m)\)。

  取 \(\boldsymbol\alpha_{m+1}=\boldsymbol\beta-(k_1\boldsymbol\alpha_1+k_2\boldsymbol\alpha_2+\cdots+k_m\boldsymbol\alpha_m)\)，则 \(\boldsymbol\alpha_{m+1}\neq\boldsymbol 0\)。

  下面求适当的 \(k_1,k_2,\cdots,k_m\) 使得 \(\boldsymbol\alpha_{m+1}\) 与 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m\) 都正交：

  \((\boldsymbol\alpha_{m+1},\boldsymbol\alpha_i)=(\boldsymbol\beta-(k_1\boldsymbol\alpha_1+k_2\boldsymbol\alpha_2+\cdots+k_m\boldsymbol\alpha_m),\boldsymbol\alpha_i)=(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha_i)-k_i(\boldsymbol\alpha_i,\boldsymbol\alpha_i)=0\Rightarrow k_i=\dfrac{(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha_i)}{(\boldsymbol\alpha_i,\boldsymbol\alpha_i)}\,(i=1,2,\cdots,m)\)

  故 \(\boldsymbol\alpha_{m+1}=\boldsymbol\beta-\dfrac{(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha_1)}{(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_1)}\boldsymbol\alpha_1-\dfrac{(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha_2)}{(\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_2)}\boldsymbol\alpha_2-\cdots-\dfrac{(\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha_m)}{(\boldsymbol\alpha_m,\boldsymbol\alpha_m)}\boldsymbol\alpha_m\)

  如果 \(m+1=n\) 则命题成立，否则用同样方法求 \(\boldsymbol \alpha_{m+2}\)。

• Schmidt 正交化：

  任取欧式空间 \(V\) 的一个线性无关的向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s\)，令

  \(\begin{cases}\boldsymbol \beta_1=\boldsymbol\alpha_1,\\\boldsymbol\beta_k=\boldsymbol\alpha_k-\dfrac{(\boldsymbol\alpha_k,\boldsymbol\beta_1)}{(\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_1)}\boldsymbol\beta_1-\dfrac{(\boldsymbol\alpha_k,\boldsymbol\beta_2)}{(\boldsymbol\beta_2,\boldsymbol\beta_2)}\boldsymbol\beta_2-\cdots-\cdots-\dfrac{(\boldsymbol\alpha_k,\boldsymbol\beta_{k-1})}{(\boldsymbol\beta_{k-1},\boldsymbol\beta_{k-1})}\boldsymbol\beta_{k-1},&2\leq k\leq s\end{cases}\)

  则 \(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_s\) 是 \(V\) 中的正交向量组，\(\dfrac{\boldsymbol{\beta}_1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|},\dfrac{\boldsymbol{\beta}_2}{\|\boldsymbol{\beta}_2\|},\cdots,\dfrac{\boldsymbol{\beta}_s}{\|\boldsymbol{\beta}_s\|}\) 是 \(V\) 中的标准正交向量组，且 \(L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_k)=L(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_k)\,(1\leq k\leq s)\)。

  若 \(\text{dim }V=n\) 且 \(s=n\)，则 \(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n\) 是 \(V\) 的一组基，所得的 \(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n\) 是 \(V\) 的一组正交基，\(\dfrac{\boldsymbol{\beta}_1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|},\dfrac{\boldsymbol{\beta}_2}{\|\boldsymbol{\beta}_2\|},\cdots,\dfrac{\boldsymbol{\beta}_s}{\|\boldsymbol{\beta}_s\|}\) 是 \(V\) 的一组标准正交基。

  例题

  在欧式空间 \(\mathbb R^4\) 中，\(\boldsymbol\alpha_1=(1,0,1,0)^T,\boldsymbol\alpha_2=(0,1,2,1)^T,\boldsymbol\alpha_3=(-2,1,0,1)^T\)，求：（1）子空间 \(L(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3)\) 的一组标准正交基；（2）将此基扩充成 \(\mathbb R^4\) 的标准正交基。

  解答

  • （1）

    \((\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\\1&2&0\\0&1&0\end{pmatrix}\xrightarrow r\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)

    所以 \(\dim L(\boldsymbol\alpha_1,\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3)=2\)，\(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2\) 为 \(L(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3)\) 的一组基。

    现将 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2\) 改造成标准正交基。

    第一步，正交化：

    令 \(\boldsymbol\beta_1=\boldsymbol\alpha_1=(1,0,1,0)^T\)，\(\boldsymbol\beta_2=\boldsymbol\alpha_2-\dfrac{(\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\beta_1)}{(\boldsymbol\beta_1,\boldsymbol\beta_1)}\boldsymbol\beta_1=(-1,1,1,1)^T\)

    第二步，标准化：

    令 \(\boldsymbol\eta_1=\dfrac{\boldsymbol\beta_1}{\|\boldsymbol\beta_1\|}=\dfrac 1 {\sqrt 2}(1,0,1,0)^T\)，\(\boldsymbol\eta_2=\dfrac{\boldsymbol\beta_2}{\|\boldsymbol\beta_2\|}=\dfrac{1}{2}(-1,1,1,1)^T\)

    则 \(\boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2\) 为 \(L(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3)\) 的一组标准正交基。

    注意

    要先得到一组基，将其改造成标准正交基。

    不是直接对 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\) 标准正交化，因为 \(\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\) 不是一组基。

  • （2）

    Abstract

    即求【与原基中的向量都正交的全体向量】的标准正交基。

    对线性方程组的基础解系标准正交化即可。

    设 \(\boldsymbol\alpha=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\)，令 \(\begin{cases}(\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\eta_1)=0\\(\boldsymbol \alpha,\boldsymbol\eta_2)=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_1+x_3=0\\-x_1+x_2+x_3+x_4=0\end{cases}\)

    得基础解系 \(\boldsymbol\alpha_4=(0,-1,0,1)^T\)，\(\boldsymbol\alpha_5=(-1,-2,1,0)^T\)。（\(\boldsymbol\alpha_4,\boldsymbol\alpha_5\) 不正交，但与 \(\boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2\) 都正交）

    对 \(\boldsymbol\alpha_4,\boldsymbol\alpha_5\) 标准正交化：

    令 \(\boldsymbol\beta_3=\boldsymbol\alpha_4\)，\(\boldsymbol\beta_4=\boldsymbol\alpha_5-\dfrac{(\boldsymbol\alpha_5,\boldsymbol\beta_3)}{(\boldsymbol\beta_3,\boldsymbol\beta_3)}\boldsymbol\beta_3\)

    再令 \(\boldsymbol\eta_3=\dfrac{\boldsymbol\beta_3}{\|\boldsymbol\beta_3\|}=\dfrac 1 {\sqrt 2}(0,-1,0,1)^T\)，\(\boldsymbol\eta_4=\dfrac{\boldsymbol\beta_4}{\|\boldsymbol\beta_4\|}=\dfrac{1}{2}(-1,-1,1,-1)^T\)，则 \(\boldsymbol\eta_3,\boldsymbol\eta_4\) 为标准正交向量组。

    所以 \(\boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2,\boldsymbol\eta_3,\boldsymbol\eta_4\) 为 \(\mathbb R^4\) 的标准正交向量组。